Aiuto con scomposizione in fattori differenze di due cubi
Ciao. Ci sono un po' di cose che vorrei capire, ma non ho avuto modo di verificare.
Si tratta di scomposizione in fattori, nella fattispecie con somme e differenze di due cubi. Mancandomi i risultati ho voluto "inventarmi" una verifica.
Si parte da questa espresseione: $(x-y)^3-8y^3$
Allora ecco tutti i miei passaggi:
$(x-y)^3-8y^3$
$(x-y)^3(-2y)^3 = (x-y-2y)[(x-y)^2+(x-y)(-2y)+(-2y)^2] = (x-3y)(x^2+y^2-2xy-2xy+2y^2+4y^2)$ Intanto si può notare la mia incertezza nel porre il segno meno al $(-2y)$ dentro la quadra, ho fatto lo stesso apponendo un + in un'altro svolgimento che qui non riporto.
ottengo infine:
$(x-3y)(x^2+7y^2-4xy)$ non so se sia il risultato corretto, per verificarla l'ho sviluppata:
$x^3+19xy^2-7x^2y-27y^3$ A me è sembrato logico pensare che se avessi sviluppato $(x-3y)(x^2+7y^2-4xy)$ (ammesso che questa riduzione sia esatta), allora raccogliendo a sua volta $x^3+19xy^2-7x^2y-27y^3$ dovrei poter ottenere $(x-y)^3-8y^3$
Non so se sia chiaro, spero di sì. E spero mi aiutiate a capire gli errori che faccio man mano.
Si tratta di scomposizione in fattori, nella fattispecie con somme e differenze di due cubi. Mancandomi i risultati ho voluto "inventarmi" una verifica.
Si parte da questa espresseione: $(x-y)^3-8y^3$
Allora ecco tutti i miei passaggi:
$(x-y)^3-8y^3$
$(x-y)^3(-2y)^3 = (x-y-2y)[(x-y)^2+(x-y)(-2y)+(-2y)^2] = (x-3y)(x^2+y^2-2xy-2xy+2y^2+4y^2)$ Intanto si può notare la mia incertezza nel porre il segno meno al $(-2y)$ dentro la quadra, ho fatto lo stesso apponendo un + in un'altro svolgimento che qui non riporto.
ottengo infine:
$(x-3y)(x^2+7y^2-4xy)$ non so se sia il risultato corretto, per verificarla l'ho sviluppata:
$x^3+19xy^2-7x^2y-27y^3$ A me è sembrato logico pensare che se avessi sviluppato $(x-3y)(x^2+7y^2-4xy)$ (ammesso che questa riduzione sia esatta), allora raccogliendo a sua volta $x^3+19xy^2-7x^2y-27y^3$ dovrei poter ottenere $(x-y)^3-8y^3$
Non so se sia chiaro, spero di sì. E spero mi aiutiate a capire gli errori che faccio man mano.
Risposte
Se la consideri una differenza tra due cubi $(x-y)^3-8y^3$ non puoi assegnare il segno meno a $2y$, il meno ti serve per la differenza, quindi il passaggio diventa
$(x-y)^3-(2y)^3 = (x-y-2y)[(x-y)^2+(x-y)(2y)+(2y)^2] = (x-3y)(x^2+y^2-2xy+2xy-2y^2+4y^2)=(x-3y)(x^2+3y^2)$
Se, invece preferissi assegnare il segno meno al termine $2y$ la scomposizioe sarebbe
$(x-y)^3-8y^3=(x-y)^3+(-2y)^3 = (x-y-2y)[(x-y)^2-(x-y)(-2y)+(-2y)^2] = (x-3y)(x^2+y^2-2xy+2xy-2y^2+4y^2)=(x-3y)(x^2+3y^2)$
$(x-y)^3-(2y)^3 = (x-y-2y)[(x-y)^2+(x-y)(2y)+(2y)^2] = (x-3y)(x^2+y^2-2xy+2xy-2y^2+4y^2)=(x-3y)(x^2+3y^2)$
Se, invece preferissi assegnare il segno meno al termine $2y$ la scomposizioe sarebbe
$(x-y)^3-8y^3=(x-y)^3+(-2y)^3 = (x-y-2y)[(x-y)^2-(x-y)(-2y)+(-2y)^2] = (x-3y)(x^2+y^2-2xy+2xy-2y^2+4y^2)=(x-3y)(x^2+3y^2)$
Ok, adesso per quanto riguarda almeno il segno è abbastanza chiaro. Ma se volessi verificare che $(x-3y)(x^2+3y^2)$ è esatta sbaglio a pensare di verificarla prima sviluppandola $x^3+3xy^2-3x^2y-9y^3$ e poi raccogliendola? Non mi riesce di raccoglierla per via di quel 9 che speravo fosse un 27
Per fare la verifica ti conviene sviluppare anche il testo e verificare che il suo sviluppo è uguale a quello che hai appena calcolato.
Scusa, ma non capisco. Non ho i risultati, e non esiste nessun testo se non l'espressione algebrica. vorrei solo sapere perché non mi riesce di raccoglierla. Ciò dimostrerebbe che è errata.
Sveglia!
$(x-y)^3-8y^3=x^3-3x^2y+3xy^2-y^3-8y^3=x^3-3x^2y+3xy^2-9y^3$
$(x-3y)(x^2+3y^2)=x^3-3x^2y+3xy^2-9y^3$
moltiplicando risulta la stessa cosa quindi la scomposizione è corretta!
Vuoi fare i raccoglimenti su questo $x^3-3x^2y+3xy^2-9y^3$? dai primi due addendi raccogli $x^2$ e dagli ultimi 2 raccogli $3y^2$
$x^3-3x^2y+3xy^2-9y^3=x^2*(x-3y)+3y^2*(x-3y)=(x-3y)(x^2+3y^2)$
$(x-y)^3-8y^3=x^3-3x^2y+3xy^2-y^3-8y^3=x^3-3x^2y+3xy^2-9y^3$
$(x-3y)(x^2+3y^2)=x^3-3x^2y+3xy^2-9y^3$
moltiplicando risulta la stessa cosa quindi la scomposizione è corretta!
Vuoi fare i raccoglimenti su questo $x^3-3x^2y+3xy^2-9y^3$? dai primi due addendi raccogli $x^2$ e dagli ultimi 2 raccogli $3y^2$
$x^3-3x^2y+3xy^2-9y^3=x^2*(x-3y)+3y^2*(x-3y)=(x-3y)(x^2+3y^2)$
Oggi dormo sul serio :>
Comunque è chiarissimo adesso, spero solo di rendermene sempre conto.
Comunque è chiarissimo adesso, spero solo di rendermene sempre conto.
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