Aiuto con problema di trigonometria con incognita

[Samuel Evans]

Salve, avrei bisogno che qualcuno mi aiutasse a risolvere il seguente problema:
È dato un arco di circonferenza di centro O e raggio r corrispondente a un angolo retto. Prendi su di esso un punto P e determinane la posizione in modo che sia verificata la relazione: rad2*(PA)*(PB)=(rad3-1)r^2
Grazie mille in anticipo!

[anto_zoolander]

$A,B$ chi sono?

[StellaMartensitica]

Supponendo che A, B siano estremi dell'arco di circonferenza (dal testo non è chiaro, ma posso immaginare che sia così):

Innanzitutto disegna il segmento che congiunge A e B: se indichi con $x$ l'angolo $P\hatAB$, essendo questo il corrispondente angolo alla circonferenza dell'arco PB (osservare bene la figura) si ha che il segmento PB (per il teorema della corda) è pari a $2*r*sin(x)$ .
Allo stesso modo l'angolo $P\hatBA$, che è uguale a $pi/4 -x$, è il corrispondente angolo alla circonferenza della corda (segmento) PA; segue (sempre per il teorema della corda) che:
$PA= 2*r*sin(pi/4-x)$.
$P\hatBA$ è uguale a $pi/4-x$ per la seguente considerazione:
Essendo l'angolo $P\hatAB$ di ampiezza $x$, per il teorema per cui l'angolo al centro è la metà del corrispondente angolo alla circonferenza, allora $P\hatOB$ (che è appunto l'angolo al centro corrispondente a $P\hatAB$) è ampio $2x$. Essendo $A\hatOB$ ampio $pi/2$, ed essendo $A\hatOP + P\hatOB = A\hatOB =pi/2$ si avrà che $A\hatOP = pi/2 - 2x$.
Quindi, avendo che $A\hatOP$ , è l'angolo al centro corrispondente all'angolo alla circonferenza $P\hatBA$, per ottenere l'ampiezza di quest'ultimo basterà dividere per due l'ampiezza di $A\hatOP$ ottenendo:
$P\hatBA= pi/4-x$

A questo punto bisogna solo impostare e poi risolvere l'equazione:

$sqrt(2)*PA*PB=(sqrt(3)-1)*r^2$

sostituisco:

$sqrt(2)*2*r*sin(pi/4-x)*2*r*sin(x)=(sqrt(3)-1)*r^2$

$4*sqrt(2)*sin(pi/4-x)*sin(x)=sqrt(3)-1$

Svolgo i calcoli:

$4*sqrt(2)*(1/sqrt(2) *cos(x) -1/sqrt(2) *sin(x))*sin(x)=sqrt(3)-1$

$4cos(x)*sin(x)-4sin^2(x)=sqrt(3)-1$

$2sin(2x)-4*(1-cos(x))/2=sqrt(3)-1$

$2*sqrt(2)*sin(2x+pi/4)=sqrt(3)-1$

$sin(2x+pi/4)=(sqrt(3)+1)/(2*sqrt(2))$

A questo punto puoi risolvere tu le equazioni ricordando che:

$sin(75°)=(sqrt(6)+sqrt(2))/4$

A me risulta
$2x=30° vv 2x=60°$ controlla con il libro e fammi sapere, perpiacere, se è giusto.
Se l'ipotesi che A e B fossero estremi dell'arco che ho aggiunto io è sbagliata scrivimelo. Prossima volta ricopia il testo per bene, mi raccomando. Non tutti hanno tempo da investire (o perdere, a seconda dei punti di vista) in un problema con un testo incompleto, come me. Ciao.