Aiuto con grafico studio di funzione?!?!?!
ciao a tutti
ho l'orale tra qualche giorno e ho bisogno di chiarirmi le idee riguardo al grafico dello studio di funzione....ovvero avendo davanti solo un grafico devo determinare se ci sono asintoti e quali sono...limiti....intersezioni asse x e y...dominio etc
mi spiegate come si fa??grazie
ho l'orale tra qualche giorno e ho bisogno di chiarirmi le idee riguardo al grafico dello studio di funzione....ovvero avendo davanti solo un grafico devo determinare se ci sono asintoti e quali sono...limiti....intersezioni asse x e y...dominio etc
mi spiegate come si fa??grazie
Risposte
Senza un esempio è un po' difficile. Postane qualcuno e ti spiego.
Posso provare a spiegarti almeno i punti da te elencati, per quanto lo tudio di funzione sia una cosa lunga da spiegare e non consiste nell individuare solo le cose da te specificate. Inoltre come dice ciampax senza un esempio non è semplice.
Comunque cominciamo dall asintoto. Per definizione esso è una retta o una curva che si avvicina indefinitamente ad una curva data. Se vuoi immmaginarlo in maniera più pratica, immagina una retta che tende ad un determinato valore, ma senza mai effettivamente raggiungerlo. Possiamo quindi dire che la funzione tendendo verso quel determinato valore, tende a comportarsi come una retta, o più in generale una curva, data. Esistono poi asintoti orizzontali verticali e obliqui. Per definzione una retta di equazione
graficamente puoi immaginare che la funzione tendendo al valore a, tende a comportarsi come una retta verticale di equazione x=a, senza per MAI raggiungere il valore x=a.
La retta di equazione x = a può essere poi asintoto verticale ascendente o discendente a seconda che tenda a più infinito o a meno infinito.
Asintoto orizzontale.
a retta di equazione y=b è asintoto orizzontale alla curva di equazione y=f(x), se:
Stesso discorso dell asintoto veritcale, ovvero puoi immaginarti la funzione che andando all infinito lungo le ascisse, tende ad un determinato valore di ordinata, ovvero b, senza mai però raggiungerlo, ma solo comportandosi all infinito come una retta orizzontale, di equazione y=b.
Asintoto obliquo.
Questo terzo tipo di asintoto è u po più complicato, in quanto la funzione in questo caso non tenderà a comportarti come una orizzontale o verticale, ma come una retta obliqua, che avrà quindi l equazione canonica di una retta, con tanto di coefficiente angolare. La funzione quindi dovrà rispettare 3 condizioni, che sono 3 limite, le cui soluzioni ci daranno l equazione della retta cui la funzione tende. Avremo quindi che che la funzione tenderà all asintoto abliquo di equazione
Se la funzionrispetta questi 3 limiti, i coefficienti m e q ci permettono di scrivere l equazione della retta cui tende asintoticamente la funzione. Per chiarirti ulteriormente la questione, ho allegato un immagine di una funzione che ha un asintoto verticale rispetto alle rette di equazione x=0 (asse delle ordinate) e y=x (bisettrice del primo e del terzo quadrante).
Andiamo ora avanti, ovvero la determinazione del limiti di una funzione. Generalmente si determinano i limiti per x che tende all infinito o per x che tende a 0, maciò non toglie che una funzione puoi avere determinati punti in cui sia opportuno determinare il limite. Per x che tende all infinito, ti accorgi facilmente se la funzione tende ad un determinato valor o all infinito anch essa. Se infatti tende ad un determinato valore, saremo nuovamente nel caso di asintoto orizzontale/verticale, mentre se tende all infinito semplicemente la retta cresce o decresce sempre di più man mano che la x assume un valore più alto. Questo detto in parole molto povere. Stessa cosa per il limite per x che tende a 0. Se vedi che la funzione interseca l asse delle ordinate, tale limite sarà finito, ed il suo valore sarà appunto dato dall ordinata del punto di intersezione, viceversa se x tende a 0 senza ma assumere per tale valore, siamo nuovamente nel caso di asintototicità. Stesso discorso vale in generale per ogni limite, che può essere finito quando per x=n dove n è un determinato valore, esiste un valore corrispondente della y, infinito se viceversa. Un problema più complicato sono invece i punti di discontinuità, ma qui la questione si allunga parecchio; se poi vuoi delucidazioni anche su questo argomento basta che chiedi.
Per quanto riguarda le intersezioni con gli assi, beh questa è la cosa secondo me più semplice, basta che vedi tutti in punti in cui la funzione interseca, ovvero incrocia, uno dei due assi rilevando il corrispondente valore di ascissa o ordinata.
Infine per quanto riguarda il dominio anche qui la questione non è proprio semplice. In generale determinare il dominio di una funzione significa determinare tutti quei valori reale entro i quali la funzione non perde significato, ovvero determinare l insieme di valori di ascissa, per i quali la funzione assume effettivamente un valore in ordinata. Bisognerà quindi per ogni funzione fare attenzione a determinate evenienze che potrebbero far perdere di significato la funzione. In particolare bisogna ricordare che :
- nelle funzioni fratte il denominatore nun può essere nullo
- le funzioni sotto radice devono essere sempre poste positive o pari a 0
- nelle funzioni logaritmiche l argomento deve essere sempre maggiore di 0
Questi sono i casi più importanti da considerare. Ovviamente lo studio di funzione non finisce di certo qui. Io mi sono limitato a rispondere ai punti da te elencati. Se hai dubbi chiedi.
Comunque cominciamo dall asintoto. Per definizione esso è una retta o una curva che si avvicina indefinitamente ad una curva data. Se vuoi immmaginarlo in maniera più pratica, immagina una retta che tende ad un determinato valore, ma senza mai effettivamente raggiungerlo. Possiamo quindi dire che la funzione tendendo verso quel determinato valore, tende a comportarsi come una retta, o più in generale una curva, data. Esistono poi asintoti orizzontali verticali e obliqui. Per definzione una retta di equazione
[math]x=a[/math]
è asintoto verticale alla curva rappresentata dalla funzione [math]y=f(x)[/math]
se:[math]\lim_{x\rightarrow a} f(x)=\infty\[/math]
graficamente puoi immaginare che la funzione tendendo al valore a, tende a comportarsi come una retta verticale di equazione x=a, senza per MAI raggiungere il valore x=a.
La retta di equazione x = a può essere poi asintoto verticale ascendente o discendente a seconda che tenda a più infinito o a meno infinito.
Asintoto orizzontale.
a retta di equazione y=b è asintoto orizzontale alla curva di equazione y=f(x), se:
[math]\lim_{x\rightarrow \infty} f(x)=b\[/math]
Stesso discorso dell asintoto veritcale, ovvero puoi immaginarti la funzione che andando all infinito lungo le ascisse, tende ad un determinato valore di ordinata, ovvero b, senza mai però raggiungerlo, ma solo comportandosi all infinito come una retta orizzontale, di equazione y=b.
Asintoto obliquo.
Questo terzo tipo di asintoto è u po più complicato, in quanto la funzione in questo caso non tenderà a comportarti come una orizzontale o verticale, ma come una retta obliqua, che avrà quindi l equazione canonica di una retta, con tanto di coefficiente angolare. La funzione quindi dovrà rispettare 3 condizioni, che sono 3 limite, le cui soluzioni ci daranno l equazione della retta cui la funzione tende. Avremo quindi che che la funzione tenderà all asintoto abliquo di equazione
[math] y=mx+q [/math]
se:[math]\lim_{x\rightarrow \infty} f(x)=\infty\[/math]
[math]\lim_{x\rightarrow \infty} \frac{f(x)}{x}=m\[/math]
(ovvero il limite è finito)[math]\lim_{x\rightarrow \infty} f(x)-mx=q\[/math]
(nuovamente finito)Se la funzionrispetta questi 3 limiti, i coefficienti m e q ci permettono di scrivere l equazione della retta cui tende asintoticamente la funzione. Per chiarirti ulteriormente la questione, ho allegato un immagine di una funzione che ha un asintoto verticale rispetto alle rette di equazione x=0 (asse delle ordinate) e y=x (bisettrice del primo e del terzo quadrante).
Andiamo ora avanti, ovvero la determinazione del limiti di una funzione. Generalmente si determinano i limiti per x che tende all infinito o per x che tende a 0, maciò non toglie che una funzione puoi avere determinati punti in cui sia opportuno determinare il limite. Per x che tende all infinito, ti accorgi facilmente se la funzione tende ad un determinato valor o all infinito anch essa. Se infatti tende ad un determinato valore, saremo nuovamente nel caso di asintoto orizzontale/verticale, mentre se tende all infinito semplicemente la retta cresce o decresce sempre di più man mano che la x assume un valore più alto. Questo detto in parole molto povere. Stessa cosa per il limite per x che tende a 0. Se vedi che la funzione interseca l asse delle ordinate, tale limite sarà finito, ed il suo valore sarà appunto dato dall ordinata del punto di intersezione, viceversa se x tende a 0 senza ma assumere per tale valore, siamo nuovamente nel caso di asintototicità. Stesso discorso vale in generale per ogni limite, che può essere finito quando per x=n dove n è un determinato valore, esiste un valore corrispondente della y, infinito se viceversa. Un problema più complicato sono invece i punti di discontinuità, ma qui la questione si allunga parecchio; se poi vuoi delucidazioni anche su questo argomento basta che chiedi.
Per quanto riguarda le intersezioni con gli assi, beh questa è la cosa secondo me più semplice, basta che vedi tutti in punti in cui la funzione interseca, ovvero incrocia, uno dei due assi rilevando il corrispondente valore di ascissa o ordinata.
Infine per quanto riguarda il dominio anche qui la questione non è proprio semplice. In generale determinare il dominio di una funzione significa determinare tutti quei valori reale entro i quali la funzione non perde significato, ovvero determinare l insieme di valori di ascissa, per i quali la funzione assume effettivamente un valore in ordinata. Bisognerà quindi per ogni funzione fare attenzione a determinate evenienze che potrebbero far perdere di significato la funzione. In particolare bisogna ricordare che :
- nelle funzioni fratte il denominatore nun può essere nullo
- le funzioni sotto radice devono essere sempre poste positive o pari a 0
- nelle funzioni logaritmiche l argomento deve essere sempre maggiore di 0
Questi sono i casi più importanti da considerare. Ovviamente lo studio di funzione non finisce di certo qui. Io mi sono limitato a rispondere ai punti da te elencati. Se hai dubbi chiedi.
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