Aiuto con dei problemi di geometria per domani? Vi prego sono disperata
E' vero che non sono brava in matematica, ma sono due giorni che provo a risolvere questi problemi e davvero non ci riesco... c'è qualcuno disposto a darmi una mano? Mi basta anche solo la spiegazione, i calcoli poi dovrei riuscire a farli da sola. Grazie mille in anticipo a chi risponderà, vi sarò debitrice per sempre.
1) I lati di un triangolo, ordinati secondo lunghezze crescenti, sono tali che il secondo supera di 2k il primo e il terzo supera di 2k il secondo. Il perimetro del triangolo è 30k. Calcola l'altezza relativa ad ogni lato.
Le risposte sono: 15√7k²; 15/4√7k²; 5/2√7k²
2)Disegna una circonferenza di diametro AB e una circonferenza di diametro AE, tangente internamente alla prima nel punto A. Traccia per E la corda CD tangente alla circonferenza minore. Sapendo che CD è 48a e BE è 18a, determina i raggi delle due circonferenze.
Le risposte sono: 16a ; 25a
3)Il raggio maggiore di una corona circolare è i 7/3 del minore e si sa che la differenza fra 1/4 del primo e 1/3 del secondo è 3cm. Calcola l'area della corona circolare e il rapporto fra il perimetro del triangolo equilatero inscritto nella circonferenza maggiore e il perimetro del quadrato circoscritto alla circonferenza minore.
Le risposte sono: 640π cm² ; 7 √3/8
1) I lati di un triangolo, ordinati secondo lunghezze crescenti, sono tali che il secondo supera di 2k il primo e il terzo supera di 2k il secondo. Il perimetro del triangolo è 30k. Calcola l'altezza relativa ad ogni lato.
Le risposte sono: 15√7k²; 15/4√7k²; 5/2√7k²
2)Disegna una circonferenza di diametro AB e una circonferenza di diametro AE, tangente internamente alla prima nel punto A. Traccia per E la corda CD tangente alla circonferenza minore. Sapendo che CD è 48a e BE è 18a, determina i raggi delle due circonferenze.
Le risposte sono: 16a ; 25a
3)Il raggio maggiore di una corona circolare è i 7/3 del minore e si sa che la differenza fra 1/4 del primo e 1/3 del secondo è 3cm. Calcola l'area della corona circolare e il rapporto fra il perimetro del triangolo equilatero inscritto nella circonferenza maggiore e il perimetro del quadrato circoscritto alla circonferenza minore.
Le risposte sono: 640π cm² ; 7 √3/8
Risposte
Ciao, Strawberry!
Scusa se mi sono permessa di modificare il tuo post, ma sai, non si possono utilizzare parolacce nel forum (anche se capisco che cinque minuti prendono a tutti, specie quando non riescono i problemi). Ti sposto subito le soluzioni: dammi solo qualche minuto e sono pronte...
1) I lati di un triangolo, ordinati secondo lunghezze crescenti, sono tali che il secondo supera di 2k il primo e il terzo supera di 2k il secondo. Il perimetro del triangolo è 30k. Calcola l'altezza relativa ad ogni lato.
Le risposte sono: 15√7k²; 15/4√7k²; 5/2√7k²
Chiamiamo L1, L2 ed L3 i tre lati del triangolo.
L1 + L2 + L3 = Perimetro = 30 K
Si sa che:
L2 = L1 + 2K
L3 = L2 + 2K = (L1 +2k) +2K = L1 + 4K
La formula del perimetro diventa dunque:
L1 + (L1 +2K) + (L1 + 4K) = 30 K
L1 + L1 +2K + L1 + 4K = 30 K
3L1 + 6 K = 30 K
3L1 = 30 K -6 K = 24 K
L1 = 24K/3 = 8 K
Ricordando che:
L2 = L1 + 2K = 8K + 2 K = 10 K
L3 = L2 + 2K = (L1 +2k) +2K = L1 + 4K = 8K + 4K = 12 K
Possiamo, noti i tre lati, calcolare l'area del triangolo grazie alla "formula di Erone". Indicando con "P" il semiperimetro del triangolo e con a,b e c i suoi tre lati, la formula di Erone dice che:
Area = radice quadrata di [P(P-a)(P-b)(P-c)]
Nel nostro caso:
Semi-perimetro = 30K/2 = 15 K
Area = radice quadrata di [15K(15K-8K)(15K-10K)(15K-12K)] = radice quadrata di [15K(7K)(5K)(3K)] = 15K²√7
Ora, l'area di un triangolo è pari al prodotto tra uno qualunque dei suoi lati per l'altezza ad esso relativa, il tutto diviso due.
Quindi:
A = L1 x h1/2
A = L2 x h2/2
A = L3 x h3/2
Pertanto:
h1 = A x 2/L1 = 15K²√7 x 2/8K = 15/4 K√7
h2 = A x 2/L2 = 15K²√7 x 2/10K = 3K√7
h2 = A x 2/L3 = 15K²√7 x 2/12K = 5/2K√7
2)Disegna una circonferenza di diametro AB e una circonferenza di diametro AE, tangente internamente alla prima nel punto A. Traccia per E la corda CD tangente alla circonferenza minore. Sapendo che CD è 48a e BE è 18a, determina i raggi delle due circonferenze.
Le risposte sono: 16a ; 25a
Essendo CD tangente alla seconda circonferenza, esso sarà perpendicolare al diametro AB e tale che AB lo tagli a metà.
Quindi:
ED = EC = CD/2 = 24 a
Congiungo i puni A,D e B in modo da ottenere il triangolo ADB. Questo è un triangolo rettangolo, in quanto inscritto un una semi-circonferenza.
Il secondo teorema di Euclide ci dice che:
"il quadrato costruito sull'altezza relativa all'ipotenusa (nel nostro caso ED) è equivalente al rettangolo che ha per lati le proiezioni dei due cateti sull'ipotenusa (cioè EB x AE)".
Quindi ED^2 = EB x AE
AE = ED^2/EB = (24a)^2/18 a = 576 a^2/18a = 32 a
Il raggio della circonferenza di diametro AE è pari a: AE/2 = 16 a
AB = AE + EB = 32 a + 18 a = 50 a
Il raggio è pari a AB/2 = 25 a.
3)Il raggio maggiore di una corona circolare è i 7/3 del minore e si sa che la differenza fra 1/4 del primo e 1/3 del secondo è 3cm. Calcola l'area della corona circolare e il rapporto fra il perimetro del triangolo equilatero inscritto nella circonferenza maggiore e il perimetro del quadrato circoscritto alla circonferenza minore.
Le risposte sono: 640π cm² ; 7 √3/8
Chiamo R1 ed R2 i due raggi della corona:
R1 = 7/3 x R2
Inoltre:
R1/4 - R2/3 = 3 cm
Diviene, sostituendo ad R1 il valore di 7/3 R2....
(7/12 R2) - (R2/3) = 3 cm
7/12 R2 - 4/12 R2 = 3 cm
3/12 R2 = 3 cm
R2 = 3 x 12/3 = 12 cm
R1 = 7/3 x R2 = 7/3 x 12 = 28 cm
Area corona = Area cerchio 1 - Area cerchio 2 =πR1^2 - πR2^2 = π(28^2 -12^2) = π640 cm^2
Il perimetro del quadrato è presto calcolato. Infatti il raggio della circonferenza inscritta ad un poligono regolare prende il nome di "apotema". L'apotema, nel quadrato, è la metà del lato. Il lato è a sua volta il doppio dell'apotema:
L = 2 x R2 = 2 x 12 = 24 cm
P = 4 x 24 = 96 cm
Il lato del triangolo inscritto nella prima circonferenza è invece pari a:
L = √3 R1 = √3 x 28
P = 3 x L = 84√3 cm
La dimostrazione geometrica la puoi trovare a questo link, che è molto ben fatto:
http://www.ripmat.it/mate/f/fq/fqc.html
Il rapporto tra i due perimetro è dunque pari a:
84√3/96 = 7/8√3
Fine. Ciao!!!
Aggiunto 4 minuti più tardi:
Ecco la soluzione qui sopra...
Scusa se mi sono permessa di modificare il tuo post, ma sai, non si possono utilizzare parolacce nel forum (anche se capisco che cinque minuti prendono a tutti, specie quando non riescono i problemi). Ti sposto subito le soluzioni: dammi solo qualche minuto e sono pronte...
1) I lati di un triangolo, ordinati secondo lunghezze crescenti, sono tali che il secondo supera di 2k il primo e il terzo supera di 2k il secondo. Il perimetro del triangolo è 30k. Calcola l'altezza relativa ad ogni lato.
Le risposte sono: 15√7k²; 15/4√7k²; 5/2√7k²
Chiamiamo L1, L2 ed L3 i tre lati del triangolo.
L1 + L2 + L3 = Perimetro = 30 K
Si sa che:
L2 = L1 + 2K
L3 = L2 + 2K = (L1 +2k) +2K = L1 + 4K
La formula del perimetro diventa dunque:
L1 + (L1 +2K) + (L1 + 4K) = 30 K
L1 + L1 +2K + L1 + 4K = 30 K
3L1 + 6 K = 30 K
3L1 = 30 K -6 K = 24 K
L1 = 24K/3 = 8 K
Ricordando che:
L2 = L1 + 2K = 8K + 2 K = 10 K
L3 = L2 + 2K = (L1 +2k) +2K = L1 + 4K = 8K + 4K = 12 K
Possiamo, noti i tre lati, calcolare l'area del triangolo grazie alla "formula di Erone". Indicando con "P" il semiperimetro del triangolo e con a,b e c i suoi tre lati, la formula di Erone dice che:
Area = radice quadrata di [P(P-a)(P-b)(P-c)]
Nel nostro caso:
Semi-perimetro = 30K/2 = 15 K
Area = radice quadrata di [15K(15K-8K)(15K-10K)(15K-12K)] = radice quadrata di [15K(7K)(5K)(3K)] = 15K²√7
Ora, l'area di un triangolo è pari al prodotto tra uno qualunque dei suoi lati per l'altezza ad esso relativa, il tutto diviso due.
Quindi:
A = L1 x h1/2
A = L2 x h2/2
A = L3 x h3/2
Pertanto:
h1 = A x 2/L1 = 15K²√7 x 2/8K = 15/4 K√7
h2 = A x 2/L2 = 15K²√7 x 2/10K = 3K√7
h2 = A x 2/L3 = 15K²√7 x 2/12K = 5/2K√7
2)Disegna una circonferenza di diametro AB e una circonferenza di diametro AE, tangente internamente alla prima nel punto A. Traccia per E la corda CD tangente alla circonferenza minore. Sapendo che CD è 48a e BE è 18a, determina i raggi delle due circonferenze.
Le risposte sono: 16a ; 25a
Essendo CD tangente alla seconda circonferenza, esso sarà perpendicolare al diametro AB e tale che AB lo tagli a metà.
Quindi:
ED = EC = CD/2 = 24 a
Congiungo i puni A,D e B in modo da ottenere il triangolo ADB. Questo è un triangolo rettangolo, in quanto inscritto un una semi-circonferenza.
Il secondo teorema di Euclide ci dice che:
"il quadrato costruito sull'altezza relativa all'ipotenusa (nel nostro caso ED) è equivalente al rettangolo che ha per lati le proiezioni dei due cateti sull'ipotenusa (cioè EB x AE)".
Quindi ED^2 = EB x AE
AE = ED^2/EB = (24a)^2/18 a = 576 a^2/18a = 32 a
Il raggio della circonferenza di diametro AE è pari a: AE/2 = 16 a
AB = AE + EB = 32 a + 18 a = 50 a
Il raggio è pari a AB/2 = 25 a.
3)Il raggio maggiore di una corona circolare è i 7/3 del minore e si sa che la differenza fra 1/4 del primo e 1/3 del secondo è 3cm. Calcola l'area della corona circolare e il rapporto fra il perimetro del triangolo equilatero inscritto nella circonferenza maggiore e il perimetro del quadrato circoscritto alla circonferenza minore.
Le risposte sono: 640π cm² ; 7 √3/8
Chiamo R1 ed R2 i due raggi della corona:
R1 = 7/3 x R2
Inoltre:
R1/4 - R2/3 = 3 cm
Diviene, sostituendo ad R1 il valore di 7/3 R2....
(7/12 R2) - (R2/3) = 3 cm
7/12 R2 - 4/12 R2 = 3 cm
3/12 R2 = 3 cm
R2 = 3 x 12/3 = 12 cm
R1 = 7/3 x R2 = 7/3 x 12 = 28 cm
Area corona = Area cerchio 1 - Area cerchio 2 =πR1^2 - πR2^2 = π(28^2 -12^2) = π640 cm^2
Il perimetro del quadrato è presto calcolato. Infatti il raggio della circonferenza inscritta ad un poligono regolare prende il nome di "apotema". L'apotema, nel quadrato, è la metà del lato. Il lato è a sua volta il doppio dell'apotema:
L = 2 x R2 = 2 x 12 = 24 cm
P = 4 x 24 = 96 cm
Il lato del triangolo inscritto nella prima circonferenza è invece pari a:
L = √3 R1 = √3 x 28
P = 3 x L = 84√3 cm
La dimostrazione geometrica la puoi trovare a questo link, che è molto ben fatto:
http://www.ripmat.it/mate/f/fq/fqc.html
Il rapporto tra i due perimetro è dunque pari a:
84√3/96 = 7/8√3
Fine. Ciao!!!
Aggiunto 4 minuti più tardi:
Ecco la soluzione qui sopra...
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