Aiuto calcolo di un limite
Mi aiutate con questo limite? Non so come possa essere uguale a 1/e (che sarebbe la soluzione)
$ \lim_{x\to 0+} (1-sinx)^{\frac{cosx}{x} $
Se mi spiegaste i passaggi mi fareste un grande favore, grazie in anticipo
(P.S. non ha nulla a che fare con un compito in classe prima che possa venire qualche dubbio)
$ \lim_{x\to 0+} (1-sinx)^{\frac{cosx}{x} $
Se mi spiegaste i passaggi mi fareste un grande favore, grazie in anticipo
(P.S. non ha nulla a che fare con un compito in classe prima che possa venire qualche dubbio)
Risposte
Ciao Nickbru
Innanzitutto ricordiamo due limiti notevoli $lim_(n->oo) (1+1/n)^n=e$ e $lim_(x->0) sin(x)/x=1$
Il primo può essere riscritto in una forma diversa per sostituzione.
Poniamo $1/n=y$ questo implica che per $n->oo$ allora $y->0$.
Sostituendo otteniamo la forma equivalente $lim_(y->0) (1+y)^(1/y)=e$
Quindi se fosse $lim_(y->0) 1/((1+y)^(1/y))=lim_(y->0) (1+y)^(-1/y)=1/e$
Anche in questo caso potremmo fare una sostituzione $x=-y$ e per $y->0$ allora anche $x->0$
Sostituendo otteniamo la forma equivalente $lim_(x->0) [1+(-x)]^(1/x)=1/e$
Questi primi passaggi sono importanti, perchè devi conoscere la varie forme del limite e magari sapertele ricavare al volo anche durante un esame. Perciò segnatele e studiale per bene.
Ora che è chiaro l'obiettivo, possiamo riscrivere il limite come:
$lim_(x->0^+) [1+(-x*sin(x)/x)]^(1/xcos(x))=1/e$
Innanzitutto ricordiamo due limiti notevoli $lim_(n->oo) (1+1/n)^n=e$ e $lim_(x->0) sin(x)/x=1$
Il primo può essere riscritto in una forma diversa per sostituzione.
Poniamo $1/n=y$ questo implica che per $n->oo$ allora $y->0$.
Sostituendo otteniamo la forma equivalente $lim_(y->0) (1+y)^(1/y)=e$
Quindi se fosse $lim_(y->0) 1/((1+y)^(1/y))=lim_(y->0) (1+y)^(-1/y)=1/e$
Anche in questo caso potremmo fare una sostituzione $x=-y$ e per $y->0$ allora anche $x->0$
Sostituendo otteniamo la forma equivalente $lim_(x->0) [1+(-x)]^(1/x)=1/e$
Questi primi passaggi sono importanti, perchè devi conoscere la varie forme del limite e magari sapertele ricavare al volo anche durante un esame. Perciò segnatele e studiale per bene.
Ora che è chiaro l'obiettivo, possiamo riscrivere il limite come:
$lim_(x->0^+) [1+(-x*sin(x)/x)]^(1/xcos(x))=1/e$
Grazie, credo di aver capito. Devo abituarmi a lavorare con i limiti notevoli allora
"Nickbru":
Grazie, credo di aver capito. Devo abituarmi a lavorare con i limiti notevoli allora
Ottimo. Ho corretto una riga che avevo scritto male col copia e incolla.
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