Aiutino in elettrostatica...

[drcave]

Salve a tutti.
Ho incontrato questo problema che m ha dato difficoltà:

Una bacchetta lunga L giace sull'asse x, caricata non uniformemente con carica

[math]\lambda=\alpha x[/math]

calcola il potenziale nel punto P a distanza d da un estremo della sbarretta.

Grazie dell'attenzione, se avete fretta mi lasciate solo qualche drittam il mio problema è la densità non uniforme.

[Cherubino]

Se avessi delle cariche puntiformi discrete dovresti sommare il potenziale generato da ogni carica (immagino tu abbia già incontrato questa situazione).

Qui non hai cariche discrete, ma una distribuzione continua di carica:
dovrai integrare anzichè sommare.

E' arabo quello che scrivo?

[drcave]

Grazie, della tempestiva risposta. So che devo integrare perchè la distribuzioe è continua, il mio problema è che la densità lineare di carica varia con x.
Se fosse la densità constante in tutta la bacchetta potrei scrivere

[math]dq=\lambda dl[/math]

ma qui la densità non è costante, è questo che mi confonde. Come dovrei impostare l'integrale?





Da SuperGaara: quando si usa il latex, il tag da inserire è "math" non "mat". Così:

[math]...[/math]

[Cherubino]

Dovrai integrare su tutta la distribuzione di carica il potenziale prodotto sul punto P dall'elemento infinitesimo di carica (

[math]dq = \alpha x dx[/math]

).

[drcave]

Quindi:

[math]V = \int_{d}^{d+L} \frac{k_e \alpha x}{(d+x)}\, dx = [/math]

[math]V= k_e \alpha \int_{d}^{d+L} \frac{x}{(d+x)}\, dx[/math]

[math]V = k_e \alpha [x- d ln (d+x)] dx= k_e \alpha [L+d - d ln (2d+L) -d +ln (2d)] [/math]

[math]V = k_e \alpha [L - d ln \left(1+\frac{L}{2d}\right)][/math]

Se i calcoli sono giusti c'è qualcosa che non va nel libro, perchè l'argomento del logaritmo neperiano non deve avere il 2 al denominatore secondo il libro!

[Cherubino]

Mi sembra di capire che nel tuo libro è implicitamente detto che un estremo della sbarretta è nell'origine degli assi (quindi ad un estremo dq=0).
Infatti se gli estemi di integrazione sono 0 e L il risultato viene come nel tuo libro.
Come stai facendo te, in un estemo la sbarretta ha carica

[math] \alpha d[/math]

e nell'altro

[math] \alpha (d +L)[/math]

Equivalentemente puoi metterti nell'origine (il punto P è l'origine),
l'integrale diventa

[math] k \int_d^{d+L} \alpha \frac{(x-d)}{x} dx[/math]

il cui risultato è quello del libro.

[drcave]

esattissimo grazie tante!