Aiutino
mi date una mano per questi sistemi:
$senx seny=0$
$cosx cosy=1/2$
e
$tgx+tgy=1+sqrt3$
$ctgx+ctgy=(3+sqrt3)/3$
nel secondo ho provato a sostituire ctgx con 1/tgx e a sviluppare, ma viene un'eq di 2° grado a diccriminante negativo.
grazie
$senx seny=0$
$cosx cosy=1/2$
e
$tgx+tgy=1+sqrt3$
$ctgx+ctgy=(3+sqrt3)/3$
nel secondo ho provato a sostituire ctgx con 1/tgx e a sviluppare, ma viene un'eq di 2° grado a diccriminante negativo.
grazie
Risposte
$senx seny=cosx cosy-1/2
$sinxsiny-cosxcos=-1/2
$cosxcosy-sinxsiny=1/2
$cos(x+y)=1/2
$x+y=(pi)/3
e poi sostituisci in uno dei due
$sinxsiny-cosxcos=-1/2
$cosxcosy-sinxsiny=1/2
$cos(x+y)=1/2
$x+y=(pi)/3
e poi sostituisci in uno dei due
per il primo sistema, dalla prima equazione ricavi:
1) sen( x )= 0 oppure
2) sen ( y)=0
quindi ottieni 2 sistemi (infatti devi sostituire alla prima eq. del sistema originario una volta la 1) e un'altra volta la 2) ...e devi proseguire entrambi).
alla fine devi fare l'unione delle soluzioni dei 2 sistemi
1) sen( x )= 0 oppure
2) sen ( y)=0
quindi ottieni 2 sistemi (infatti devi sostituire alla prima eq. del sistema originario una volta la 1) e un'altra volta la 2) ...e devi proseguire entrambi).
alla fine devi fare l'unione delle soluzioni dei 2 sistemi
La prima equazione ha soluzione per $\sin(x)=0$ e $\sin(y)=0$, queste due soluzioni vanno considerate separatamente.
$\sin(x)=0$ significa $x=k\pi$, cioè $x=2k\pi$ o $x=(2k+1)\pi$. Sostituendo $x=2k\pi$ nella seconda si ottiene (ricordando che $\cos(2k\pi)=1$
$\cos(y)=\frac{1}{2}$, cioè $y=\pm \frac{\pi}{3} + 2h\pi$, quindi tutte le coppie del tipo $x=2k\pi$, $y=y=\pm \frac{\pi}{3} + 2h\pi$ sono soluzione.
Se invece $x=(2k+1)\pi$ allora il coseno vale $-1$, e la seconda equazione diventa:
$\cos(y)=-\frac{1}{2}$, cioè $y=\pm \frac{2}{3}\pi + 2h\pi$, quindi anche tutte le coppie $x=(2k+1)\pi$ e $y=\pm \frac{2}{3}\pi + 2h\pi$ sono soluzione.
Ora devi analizzare i casi in cui $\sin(y)=0$, basta ragionare analogamente.
$\sin(x)=0$ significa $x=k\pi$, cioè $x=2k\pi$ o $x=(2k+1)\pi$. Sostituendo $x=2k\pi$ nella seconda si ottiene (ricordando che $\cos(2k\pi)=1$
$\cos(y)=\frac{1}{2}$, cioè $y=\pm \frac{\pi}{3} + 2h\pi$, quindi tutte le coppie del tipo $x=2k\pi$, $y=y=\pm \frac{\pi}{3} + 2h\pi$ sono soluzione.
Se invece $x=(2k+1)\pi$ allora il coseno vale $-1$, e la seconda equazione diventa:
$\cos(y)=-\frac{1}{2}$, cioè $y=\pm \frac{2}{3}\pi + 2h\pi$, quindi anche tutte le coppie $x=(2k+1)\pi$ e $y=\pm \frac{2}{3}\pi + 2h\pi$ sono soluzione.
Ora devi analizzare i casi in cui $\sin(y)=0$, basta ragionare analogamente.
grazie, sono stato uno scemo, grazie ancora
mi dareste un suggerimento anche per il secondo sistema?
merci
merci
"vitus":
mi date una mano per questi sistemi:
$senx seny=0$
$cosx cosy=1/2$
e
$tgx+tgy=1+sqrt3$
$ctgx+ctgy=(3+sqrt3)/3$
nel secondo ho provato a sostituire ctgx con 1/tgx e a sviluppare, ma viene un'eq di 2° grado a diccriminante negativo.
grazie
per il secondo sistema se fai la sostituzione da te indicata e fai il denominatore comune (occhio a ricordarsi che deve essere diverso da zero) viene un sistema lineare di 2 equaz. in 2 incognite (che sono tg(x) e tg(y) )
ciao
per il pecondo sistema
effettuando i passaggi detti pervengo alla seguente eq ausiliaria:
$(3+sqrt3)z^2-(1+sqrt3)z+3(1+sqrt3)tgx tgy=0
che non riseco a risolvere.
E' esatto?
grazie
per il pecondo sistema
effettuando i passaggi detti pervengo alla seguente eq ausiliaria:
$(3+sqrt3)z^2-(1+sqrt3)z+3(1+sqrt3)tgx tgy=0
che non riseco a risolvere.
E' esatto?
grazie
rettifico:
per il secondo sistema
effettuando i passaggi detti pervengo alla seguente eq ausiliaria:
$(3+sqrt3)z^2-(1+sqrt3)z+3(1+sqrt3)=0 $
che non riseco a risolvere.
E' esatto?
grazie
Ps: non considerare il precedente post
per il secondo sistema
effettuando i passaggi detti pervengo alla seguente eq ausiliaria:
$(3+sqrt3)z^2-(1+sqrt3)z+3(1+sqrt3)=0 $
che non riseco a risolvere.
E' esatto?
grazie
Ps: non considerare il precedente post
"codino75":
per il secondo sistema se fai la sostituzione da te indicata e fai il denominatore comune (occhio a ricordarsi che deve essere diverso da zero) viene un sistema lineare di 2 equaz. in 2 incognite (che sono tg(x) e tg(y) )
rettifico:
non si perviene ad un sistema lineare, ma ad uno non lineare.
passando ai calcoli i oottengo:
definisco:
tg(x)=A
tg(y)=B
dalla seconda equazione del sistema dato:
$1/A + 1/B = (3+sqrt3)/3$
facendo il den comune ed eliminandolo ottengo:
(1) $A+B=(3+sqrt3)/3 * AB$
poi, visto che dall prima eq. ho che:
$A+B=1+sqrt3$
sostituendo il secondo membro della precedente nella (1) ottengo:
$1+sqrt3=(3+sqrt3)/3 * AB$
che semplificata mi da':
$AB=sqrt3$
da qui poi dovrebbe essere facile.
alex
allora ti dico i passaggi che ho fatto io in modo + semplice possibile
$tgx+tgy=1+3^(1/2)$ $(senxcosy+senycosx)/cosxcosy= (sen(x+y))/cosxcosy$
quindi
l'espressione iniziale è uguale a
$(sen(x+y))/cosxcosy=1+3^(1/2)$
ora passiamo all'altra
$cotgx+cotgy=(3+3^(1/2))/3$ $(cosxseny+senxcosy)/senxseny=(sen(x+y))/senxseny$
fra le due relazioni abbiamo un sen(x+y) in cumune quindi le equipariamo
dalla prima ho
$sen(x+y)=(1+3^(1/2))cosxcosy$
dalla seconda ho
$sen(x+y)=(3+3^(1/2))/3senxseny$
le uguagliamo
$(1+3^(1/2))cosxcosy=((3+3^(1/2)) senxseny)/3$
e dividendo tutto per cosxcosy, dicendo quindi che sia x che y devono essere diversi da 90 e da 180 gradi otterremo
$(1+3^(1/2))=((3+3^(1/2))( tgx)(tgy))/3$
con delle semplificazioni algebriche otterrai:
tgxtgy=3^(1/2)
quindi ti ricavi tgx da qui = tgx=3^(1/2)/tgy e la vai a sostituire nella prima equazione in modo da avere una sola incongnita
$3^(1/2)/(tgy)+tgy=1+3^(1/2)$
moltiplicando per tgy ponendo tgy diversa da zero otterrai una equazione di secondo grado. alla fine uno dei due risultati, che è zero, lo scarterai perchè contraddice la condizione di esistenza. l'altro risultato sarà 3^(1/2)
da li ti ricavi y, poi dalla relazione tgx=3^(1/2)/tgy ti ricavi x
$tgx+tgy=1+3^(1/2)$ $(senxcosy+senycosx)/cosxcosy= (sen(x+y))/cosxcosy$
quindi
l'espressione iniziale è uguale a
$(sen(x+y))/cosxcosy=1+3^(1/2)$
ora passiamo all'altra
$cotgx+cotgy=(3+3^(1/2))/3$ $(cosxseny+senxcosy)/senxseny=(sen(x+y))/senxseny$
fra le due relazioni abbiamo un sen(x+y) in cumune quindi le equipariamo
dalla prima ho
$sen(x+y)=(1+3^(1/2))cosxcosy$
dalla seconda ho
$sen(x+y)=(3+3^(1/2))/3senxseny$
le uguagliamo
$(1+3^(1/2))cosxcosy=((3+3^(1/2)) senxseny)/3$
e dividendo tutto per cosxcosy, dicendo quindi che sia x che y devono essere diversi da 90 e da 180 gradi otterremo
$(1+3^(1/2))=((3+3^(1/2))( tgx)(tgy))/3$
con delle semplificazioni algebriche otterrai:
tgxtgy=3^(1/2)
quindi ti ricavi tgx da qui = tgx=3^(1/2)/tgy e la vai a sostituire nella prima equazione in modo da avere una sola incongnita
$3^(1/2)/(tgy)+tgy=1+3^(1/2)$
moltiplicando per tgy ponendo tgy diversa da zero otterrai una equazione di secondo grado. alla fine uno dei due risultati, che è zero, lo scarterai perchè contraddice la condizione di esistenza. l'altro risultato sarà 3^(1/2)
da li ti ricavi y, poi dalla relazione tgx=3^(1/2)/tgy ti ricavi x
ciao a tutti e perdonate la mia ignoranza.
il mio inghippo è proprio qui:
$1+sqrt3=(3+sqrt3)/3 * AB$
che semplificata mi da':
$AB=sqrt3$
come fa a semplificarsi e ad uscire $sqrt3$?
Lo so è stupida la domanda ma coi radicali ho sempre problemi
grazie ancora
il mio inghippo è proprio qui:
$1+sqrt3=(3+sqrt3)/3 * AB$
che semplificata mi da':
$AB=sqrt3$
come fa a semplificarsi e ad uscire $sqrt3$?
Lo so è stupida la domanda ma coi radicali ho sempre problemi
grazie ancora
metti in evidenza 3^(1/2) e quindi ti viene
$1+3^(1/2)=3^(1/2)(1+3^(1/2))/3 AB$
dividi tutto per $1+3^(1/2)$ e ti esce
$1=3^(1/2)/3 AB$
dividi per l'inverso di $3^(1/2)/3$ e ti viene
$3/3^(1/2) = AB$ che semplificato mi da
$AB=3^(1/2)$
$1+3^(1/2)=3^(1/2)(1+3^(1/2))/3 AB$
dividi tutto per $1+3^(1/2)$ e ti esce
$1=3^(1/2)/3 AB$
dividi per l'inverso di $3^(1/2)/3$ e ti viene
$3/3^(1/2) = AB$ che semplificato mi da
$AB=3^(1/2)$
grazie, che scemo che sono!!
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