A proposito della fattorizzazione unica
Buona sera a tutti.
Non essendo un matematico, ma solo un cultore della materia, le uniche letture che posso affrontare sono i testi di divulgazione matematica. Quei testi, per intenderci, che spiegano ai profani argomenti anche complessi ma in maniera comprensibile.
Fra questi testi ci sono quelli che si riferiscono alle curiosità e/o ai giochi matematici. Mi è capitato di leggere su uno di questi libri una cosa che mi ha lasciato perplesso, ma siccome chi ha scritto il libro è un docente di matematica io parto dal presupposto che sono io che non ho capito e non che è lui che ha sbagliato.
Veniamo al problema: qualsiasi numero intero è esprimibile come il prodotto di n numeri primi, presi anche più volte.
Questo è il teorema della fattorizzazione unica, talmente importante da essere considerato il teorema fondamentale dell'aritmetica.
Il testo porta come esempio:
$ 2007 = 3*3*223 $
e altri numeri. Però afferma testualmente: "Se vi state chiedendo che succede a 1, i matematici lo considerano come il prodotto di nessun primo. Mi dispiace, qualche volta la matematica è così.
La cosa mi ha lasciato perplesso, ma dato che se errore c'è questo è mio e non del Prof. Ian Stewart, vi sottopongo il mio dubbio.
Perché non posso considerare 1 come il prodotto di n volte 1?
In pratica:
$ 1 = 1*1*1*1.....*1 $
oppure
$ 1^n $
dove n è uguale a $ ∞ $?
La moltiplicazione di 1 per n volte o l'elevazione di 1 a $ ∞ $ , non dovrebbe dare 1?
Dov'è l'errore nella mia ricostruzione logica?
Grazie per la pazienza.
Non essendo un matematico, ma solo un cultore della materia, le uniche letture che posso affrontare sono i testi di divulgazione matematica. Quei testi, per intenderci, che spiegano ai profani argomenti anche complessi ma in maniera comprensibile.
Fra questi testi ci sono quelli che si riferiscono alle curiosità e/o ai giochi matematici. Mi è capitato di leggere su uno di questi libri una cosa che mi ha lasciato perplesso, ma siccome chi ha scritto il libro è un docente di matematica io parto dal presupposto che sono io che non ho capito e non che è lui che ha sbagliato.
Veniamo al problema: qualsiasi numero intero è esprimibile come il prodotto di n numeri primi, presi anche più volte.
Questo è il teorema della fattorizzazione unica, talmente importante da essere considerato il teorema fondamentale dell'aritmetica.
Il testo porta come esempio:
$ 2007 = 3*3*223 $
e altri numeri. Però afferma testualmente: "Se vi state chiedendo che succede a 1, i matematici lo considerano come il prodotto di nessun primo. Mi dispiace, qualche volta la matematica è così.
La cosa mi ha lasciato perplesso, ma dato che se errore c'è questo è mio e non del Prof. Ian Stewart, vi sottopongo il mio dubbio.
Perché non posso considerare 1 come il prodotto di n volte 1?
In pratica:
$ 1 = 1*1*1*1.....*1 $
oppure
$ 1^n $
dove n è uguale a $ ∞ $?
La moltiplicazione di 1 per n volte o l'elevazione di 1 a $ ∞ $ , non dovrebbe dare 1?
Dov'è l'errore nella mia ricostruzione logica?
Grazie per la pazienza.
Risposte
Benvenuto nel forum.
Il problema si riduce essenzialmente nella scelta convenzionale di non considerare il numero $1$ come un numero primo.
Dal teorema fondamentale dell'aritmetica si ha l'esistenza di una fattorizzazione in numeri primi per ogni numero naturale, e successivamente la sua unicità.
Quindi se consideriamo il numero $1$ come un numero primo viene da se che lo stesso teorema verebbe meno.
Riprendendo il tuo esempio $2007=3*3*223$ si avrebbe che il numero $2007$ non avrebbe più una scomposizione in fattori primi unica (l'unicità) ma avrebbe infiniti scomposizioni in fattori primi :
$2007=3*3*223*1$
$2007=3*3*223*1*1$
$2007=3*3*223*1*1*...$
Dunque ciao ciao Teorema fondamentale dell'aritmetica
In questo senso, ancora, pensa al Crivello di Eratostene
.
Considerare $1$ come un numero primo porterebbe nel Crivello di Eratostene a cancellare tutti i numeri successivi in quanto multipli di uno con la conseguenza che tutti i numeri naturali verrebbero considerati composti,
eccetto il numero $1$.
E non finisce qui perchè si innesca l'effetto domino del tipo "mamma mia come sto!
".
Esempio, che si fa con il Crivello di Eratostene? Lo si mette al bando oppure no?
In caso affermativo, si deve rinunciare ad un'importante strumento.
In caso negativo, si avrebbe un solo numero primo. Ma già dai tempi di Euclide si era giunti alla dimostrazione dell'esistenza di infiniti numeri primi.
E cosi via...
Il problema si riduce essenzialmente nella scelta convenzionale di non considerare il numero $1$ come un numero primo.
Dal teorema fondamentale dell'aritmetica si ha l'esistenza di una fattorizzazione in numeri primi per ogni numero naturale, e successivamente la sua unicità.
Quindi se consideriamo il numero $1$ come un numero primo viene da se che lo stesso teorema verebbe meno.
Riprendendo il tuo esempio $2007=3*3*223$ si avrebbe che il numero $2007$ non avrebbe più una scomposizione in fattori primi unica (l'unicità) ma avrebbe infiniti scomposizioni in fattori primi :
$2007=3*3*223*1$
$2007=3*3*223*1*1$
$2007=3*3*223*1*1*...$
Dunque ciao ciao Teorema fondamentale dell'aritmetica
In questo senso, ancora, pensa al Crivello di Eratostene
.Considerare $1$ come un numero primo porterebbe nel Crivello di Eratostene a cancellare tutti i numeri successivi in quanto multipli di uno con la conseguenza che tutti i numeri naturali verrebbero considerati composti,
eccetto il numero $1$.
E non finisce qui perchè si innesca l'effetto domino del tipo "mamma mia come sto!
".Esempio, che si fa con il Crivello di Eratostene? Lo si mette al bando oppure no?
In caso affermativo, si deve rinunciare ad un'importante strumento.
In caso negativo, si avrebbe un solo numero primo. Ma già dai tempi di Euclide si era giunti alla dimostrazione dell'esistenza di infiniti numeri primi.
E cosi via...
"Luca97":
Benvenuto nel forum.
Il problema si riduce essenzialmente nella scelta convenzionale di non considerare il numero $1$ come un numero primo.
Dal teorema fondamentale dell'aritmetica si ha l'esistenza di una fattorizzazione in numeri primi per ogni numero naturale, e successivamente la sua unicità.
Quindi se consideriamo il numero $1$ come un numero primo viene da se che lo stesso teorema verebbe meno.
Riprendendo il tuo esempio $2007=3*3*223$ si avrebbe che il numero $2007$ non avrebbe più una scomposizione in fattori primi unica (l'unicità) ma avrebbe infiniti scomposizioni in fattori primi :
$2007=3*3*223*1$
$2007=3*3*223*1*1$
$2007=3*3*223*1*1*...$
Dunque ciao ciao Teorema fondamentale dell'aritmetica
In questo senso, ancora, pensa al Crivello di Eratostene
Considerare $1$ come un numero primo porterebbe nel Crivello di Eratostene a cancellare tutti i numeri successivi in quanto multipli di uno con la conseguenza che tutti i numeri naturali verrebbero considerati composti,
eccetto il numero $1$.
E non finisce qui perchè si innesca l'effetto domino del tipo "mamma mia come sto!
Esempio, che si fa con il Crivello di Eratostene? Lo si mette al bando oppure no?
In caso affermativo, si deve rinunciare ad un'importante strumento.
In caso negativo, si avrebbe un solo numero primo. Ma già dai tempi di Euclide si era giunti alla dimostrazione dell'esistenza di infiniti numeri primi.
E cosi via...
Grazie per il benvenuto, ma sono iscritto dal 2006 o 2007, non ricordo.
Quindi, il mio errore sta nel fatto che ho considerato 1 come numero primo, mentre non lo è. OK, adesso ho capito.
Grazie
"pgft":Guarda, secondo me sei iscritto dal 19 novembre 2005
Grazie per il benvenuto, ma sono iscritto dal 2006 o 2007, non ricordo.
Prego pgft.
Dopo aver svolto complicati calcoli probabilistici, consultati: il mago di Oz, il mago Foresr e mago Marlino,
sono giunto alla stessa conclusione di Gi8 e te l'ho scritto sotto l'avatar .
Dopo aver svolto complicati calcoli probabilistici, consultati: il mago di Oz, il mago Foresr e mago Marlino,
sono giunto alla stessa conclusione di Gi8 e te l'ho scritto sotto l'avatar
.
"Gi8":Guarda, secondo me sei iscritto dal 19 novembre 2005
[quote="pgft"]Grazie per il benvenuto, ma sono iscritto dal 2006 o 2007, non ricordo.
[/quote]Hai ragione, ma volevo vedere se eri attento
Ricordo nella secondaria - quindi in questa sezione (sempre se non erro) - che un utente aveva scritto un post molto interessante rispondendo al fatto del perché $1$ non è considerato primo. Se non era qui al massimo era nel "scervelliamoci un po'".
Quando ho un po' di tempo cerco tra i miei messaggi (link alto) perché con la funzione cerca non posso dato che mi dice che "numero primo" sono parole troppo comuni...
Quando ho un po' di tempo cerco tra i miei messaggi (link alto) perché con la funzione cerca non posso dato che mi dice che "numero primo" sono parole troppo comuni...
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