A derivate uguali,corrispondon funzioni uguali?!
Buon pomeriggio,vorrei un consiglio.. un es.di un vecchio compito del prof chiede:
"se due funzioni hanno la stessa derivata,allora sono uguali" (dire se l'affermazione è vera o falsa motivandone la risposta).
Io sono convinta del fatto che l'affermazione sia falsa,perchè..
1. la derivata implica che le funzioni abbiano lo stesso coefficiente angolare,ma nulla dice che siano uguali le funzioni stesse.
Solo che non saprei come motivare meglio la risposta.. in modo più dettagliato.
Non è che potreste aiutarmi?
Grazie e buon pomeriggio a tutti!
"se due funzioni hanno la stessa derivata,allora sono uguali" (dire se l'affermazione è vera o falsa motivandone la risposta).
Io sono convinta del fatto che l'affermazione sia falsa,perchè..
1. la derivata implica che le funzioni abbiano lo stesso coefficiente angolare,ma nulla dice che siano uguali le funzioni stesse.
Solo che non saprei come motivare meglio la risposta.. in modo più dettagliato.
Non è che potreste aiutarmi?
Grazie e buon pomeriggio a tutti!
Risposte
Basta prendere $f(x)=x+1$ e $f(x)=x+2$ per rendersi conto che l'affermazione è falsa.
sisi gli es.per aver conferma della mia risposta me li sono fatta anch'io.. solo che non so come spiegarglielo in termini più "matematici" e completi.. per dimostrargli che non l'ho buttata lì per caso,ma che l'ho capito.. o già così è una risposta esauriente?!
Già così è una risposta più che esauriente. Infatti per falsificare un' affermazione basta un' unico controesempio.
Se proprio si vuol essere pignoli si può scrivere.
Siano $g(x)=x+2$ e $f(x)=x+1$ funzioni di $RR$ in $RR$. Osserviamo che sono diverse, infatti $g(0)=2\ne 1=f(0)$ pur avendo la stessa derivata $g'(x)=f'(x)=1$ e questo $\forall x \in RR$
Di per se, la risposta di Wizard , secondo me , era sufficente.
Se proprio si vuol essere pignoli si può scrivere.
Siano $g(x)=x+2$ e $f(x)=x+1$ funzioni di $RR$ in $RR$. Osserviamo che sono diverse, infatti $g(0)=2\ne 1=f(0)$ pur avendo la stessa derivata $g'(x)=f'(x)=1$ e questo $\forall x \in RR$
Di per se, la risposta di Wizard , secondo me , era sufficente.
Ah ok,perfetto! grazie!^__^
Ultima precisazione. Fornire un controesempio è più che sufficiente anche da un punto di vista strettamente logico, difatti l'asserto può essere così rielaborato: $\forall f,g, (f'=g' \Rightarrow f=g)$; quindi, se ne vogliamo provare la negazione dobbiamo provare che $\exists f,g : f'=g' \wedge f!=g$.
Naturalmente tutte le risposte gia date bastano e avanzano, ma abbondare non guasta 
Prima di tutto pensa che se fosse così, negli integrali indefiniti non si userebbe mettere il "+c"
Poi volendo (per riuscire a "immaginarsi" la cosa) si può ricordare al fatto che la derivata indica in che modo cresce o descresce una certa funzione, allora se prendi una semplice parabola $y = x^2$ e la stessa parabola traslata di un unità sull'asse delle Y $y=x^2 + 1$ esse cresceranno e decresceranno allo stesso modo (stessa derivata) ma saranno funzioni diverse
Prima di tutto pensa che se fosse così, negli integrali indefiniti non si userebbe mettere il "+c"
Poi volendo (per riuscire a "immaginarsi" la cosa) si può ricordare al fatto che la derivata indica in che modo cresce o descresce una certa funzione, allora se prendi una semplice parabola $y = x^2$ e la stessa parabola traslata di un unità sull'asse delle Y $y=x^2 + 1$ esse cresceranno e decresceranno allo stesso modo (stessa derivata) ma saranno funzioni diverse
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