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[arianna.fortuna]

mi fornite qualche esmpio base sul fascio di circonferenza???domani ho compito

[BIT5]

L'argomento e' troppo vasto, e siccome non so manco che scuola fai, rischierei di perdere ore e ore con esempi che magari sono troppo difficili o facili per il tuo corso di studi. Ti consiglio di postare tu qualche esercizio che non hai capito, anche per capire il tipo di esercizi che fate.

[arianna.fortuna]

considera il fascio x^2+y^2+4kx-(4+k)y+4+2k=0 e studia le sue caratteristiche.trova per quale valore di k si ha:
-la circonferenza con centro di ascissa 4
-la circonferenza che interseca l'asse y nel punto di ordinata -1

[BIT5]

Le circonferenze sono della forma

[math] x^2+y^2+ax+by+c=0 [/math]

quindi per quanto riguarda il fascio, abbiamo

[math] a=4k \ \ \ \ \ \ \ b=-(4+k) \ \ \ \ \ c=4+2k [/math]

Il centro (generico) del fascio sara'

[math] x_C=- \frac{a}{2} = - \frac{4k}{2} = -2k [/math]

[math] y_C= - \frac{b}{2} = - \frac{-(4+k)}{2} = \frac{4+k}{2} [/math]

E quindi

[math] C \(-2k, \frac{4+k}{2} \) [/math]

E il raggio

[math] r= \sqrt{x_C^2+y_C^2-c} = \sqrt{(-2k)^2+ \( \frac{4+k}{2} \)^2 - (4+2k)} [/math]

quindi

[math] r= \sqrt{4k^2+ \frac{16+8k+k^2}{4} - 4- 2k} = \sqrt{\frac{8k^2+16+8k+k^2-8-4k}{4}} \\ \\ \\ \\ \\ = \sqrt{\frac{9k^2+4k+8}{4}} = \frac12 \sqrt{9k^2+4k+8} [/math]

Il raggio dovra' essere sempre una quantita' positiva e la radice restituisce una quantita' positiva, quindi non abbiamo problemi

Il radicando dovra' essere sempre >= 0 quindi

[math] 9k^2+4k+8 \ge 0 [/math]

Risolvi l'equazione associata (con la ridotta)

[math] x= \frac{-2 \pm \sqrt{4-72}}{9} [/math]

Il delta e' negativo sempre, pertanto la disequazione e' sempre verificata e k non ha limitazioni.

a) il centro di ascissa 4

Abbiamo visto che il centro ha ascissa -2k quindi -2k=4 da cui k=-2

Sostituiamo al fascio e otteniamo la circonferenza cercata:

[math] x^2+y^2-8x-2y=0 [/math]

b) la circonferenza interseca l'asse y nei punti generici delle soluzioni del sistema tra il fascio con l'asse y (che ha equazione x=0)

[math] \{x^2+y^2+4kx-(4+k)y+4+2k=0 \\ x=0 [/math]

da cui quindi, sostituendo

[math] y^2-(4+k)y+4+2k=0 [/math]

risolviamo l'equazione con la formula

[math] y= \frac{(4+k) \pm \sqrt{(-(4+k))^2-4(1)(4+2k)}}{2} [/math]

quindi

[math] y= \frac{4+k \pm \sqrt{16+8k+k^2-16-8k}}{2} = \frac{4+k \pm \sqrt{k^2}}{2} = \frac{4+k \pm k}{2} [/math]

e quindi

[math] y_1= \frac{4+k+k}{2} = \frac{4+2k}{2} = \frac{2(2k+1)}{2} = 2k+1 [/math]

[math] y_2 = \frac{4+k-k}{2} = 2 [/math]

un punto di intersezione, come vedi, e' sempre (0,2), fisso

L'altro varia a seconda di k.

Vogliamo che l'ordinata sia -1 quindi

[math] 2k+1=-1 \to 2k=-2 \to k=-1 [/math]

sostituisci al fascio e trovi la circonferenza richiesta