4 problemi e 2 teoremi
raga mi servirebbe aiuto su questi 4 problemi di geometria e su questi 2 teoremi:
1) Il perimetro di un trapezio, circoscritto ad una circonferenza ed avente gli angoli acuti ampi uno 60° e l'altro 30°, misura 24 (1 + radicedi3) cm. Trovate la misura del raggio della circonferenza. [3 radicedi3 cm]
2) In un trapezio isoscele circoscritto ad una circonferenza il punto di contatto divide ciascuno dei due lati non paralleli in due parti una doppia dell'altra. Sapendo che la misura dell'area è 600 radicedi2 cm^2, determinare quella del perimetro. Determinare inoltre le misure delle distanze degli estremi di uno dei lati non paralleli dalla retta cui appartiene l'altro. [120 cm; (60 radicedi2)/3 cm; (40 radice di 2)/3 cm]
3) Dato il triangolo rettangolo ABC, i cui cateti AB e AC sono proporzionali ai numeri 4 e 3, da M, punto medio di AB, si conduca la perpendicolare MP all’ipotenusa BC e da P la perpendicolare PH al cateto AC. Determinare il rapporto tra l’area del quadrilatero AMPH e quella del triangolo ABC. Supposta poi uguale a 600 cm^2 la misura dell’area del triangolo ABC determinare la misura del perimetro del quadrilatero AMPH. [236/625; 68,8 cm]
4) Un trapezio isoscele è circoscritto ad una circonferenza il cui raggio misura r; i suoi angoli acuti sono ampi 45°. Calcolare le misure del perimetro del trapezio e del perimetro del triangolo avente per vertici gli stremi della base maggiore del trapezio ed il punto di intersezione dei suoi lati non paralleli. [8 r radicedi2; 2 r (3 + 2 radicedi2)]
Teoremi
1) TEOREMA DELLE DUE SECANTI: da un punto esterno A ad una circonferenza si conducano due secanti r ed s che incontrano la circonferenza rispettivamente in C e B e E e D. Dimostrare che AB/AD = AE/AC.
2) TEOREMA DELLA SECANTE E DELLA TANGENTE: da un punto esterno A ad una circonferenza si conducano una tangente t e una secante s che incontrano la circonferenza rispettivamente in B e C e D. Dimostrare che AD/AB = AB/AC.
Mamma mia sono sommerso dalla lezione e questo non è tutto l’altra roba non la metto perché provo a farmela da solo questi li ho messi perché non mi riescono ne 3 ne 2.
P.S.
un ultima cosa.... chi sa darmi la definizione (preferibilmente semplice) di FUNZIONE? grazie ancora...
1) Il perimetro di un trapezio, circoscritto ad una circonferenza ed avente gli angoli acuti ampi uno 60° e l'altro 30°, misura 24 (1 + radicedi3) cm. Trovate la misura del raggio della circonferenza. [3 radicedi3 cm]
2) In un trapezio isoscele circoscritto ad una circonferenza il punto di contatto divide ciascuno dei due lati non paralleli in due parti una doppia dell'altra. Sapendo che la misura dell'area è 600 radicedi2 cm^2, determinare quella del perimetro. Determinare inoltre le misure delle distanze degli estremi di uno dei lati non paralleli dalla retta cui appartiene l'altro. [120 cm; (60 radicedi2)/3 cm; (40 radice di 2)/3 cm]
3) Dato il triangolo rettangolo ABC, i cui cateti AB e AC sono proporzionali ai numeri 4 e 3, da M, punto medio di AB, si conduca la perpendicolare MP all’ipotenusa BC e da P la perpendicolare PH al cateto AC. Determinare il rapporto tra l’area del quadrilatero AMPH e quella del triangolo ABC. Supposta poi uguale a 600 cm^2 la misura dell’area del triangolo ABC determinare la misura del perimetro del quadrilatero AMPH. [236/625; 68,8 cm]
4) Un trapezio isoscele è circoscritto ad una circonferenza il cui raggio misura r; i suoi angoli acuti sono ampi 45°. Calcolare le misure del perimetro del trapezio e del perimetro del triangolo avente per vertici gli stremi della base maggiore del trapezio ed il punto di intersezione dei suoi lati non paralleli. [8 r radicedi2; 2 r (3 + 2 radicedi2)]
Teoremi
1) TEOREMA DELLE DUE SECANTI: da un punto esterno A ad una circonferenza si conducano due secanti r ed s che incontrano la circonferenza rispettivamente in C e B e E e D. Dimostrare che AB/AD = AE/AC.
2) TEOREMA DELLA SECANTE E DELLA TANGENTE: da un punto esterno A ad una circonferenza si conducano una tangente t e una secante s che incontrano la circonferenza rispettivamente in B e C e D. Dimostrare che AD/AB = AB/AC.
Mamma mia sono sommerso dalla lezione e questo non è tutto l’altra roba non la metto perché provo a farmela da solo questi li ho messi perché non mi riescono ne 3 ne 2.
P.S.
un ultima cosa.... chi sa darmi la definizione (preferibilmente semplice) di FUNZIONE? grazie ancora...
Risposte
1) Il perimetro di un trapezio, circoscritto ad una circonferenza ed avente gli angoli acuti ampi uno 60° e l'altro 30°, misura 24 (1 + radicedi3) cm. Trovate la misura del raggio della circonferenza.
Disegniamo il trapezio ABCD, tale che le sue altezze siano DH e CK. Sia l'angolo in A di 60° e l'angolo in B di 30°. Chiamiamo il raggio della circonferenza inscritta nel trapezio OR.
Se
Consideriamo il triangolo CKB. Sappiamo per ipotesi che l'angolo in B è di 30°, e, essendo quello in K retto, l'angolo in C risulta di 60°.
Pertanto:
Consideriamo il triangolo DHA. Sappiamo per ipotesi che l'angolo in A è di 60°, e, essendo quello in H retto, l'angolo in D risulta di 30°.
Pertanto:
Poniamo DC=y. Sappiamo che nel trapezio circoscritto ad una circonferenza la somma dei lati opposti è uguale. Perciò da questa equazione ricaviamo DC in funzione di x.
Ora, conoscendo tutti i lati, è possibile ricavare il valore di x dall'equazione risolvente impostata con il perimetro. Ricordo che x è il raggio della circonferenza inscritta.
Pertanto
Ti ho scritto tutti i passaggi affinchè tu capisca meglio i procedimenti...;)
Disegniamo il trapezio ABCD, tale che le sue altezze siano DH e CK. Sia l'angolo in A di 60° e l'angolo in B di 30°. Chiamiamo il raggio della circonferenza inscritta nel trapezio OR.
Se
[math]OR=x[/math]
, allora [math]DH=CK=2x[/math]
.Consideriamo il triangolo CKB. Sappiamo per ipotesi che l'angolo in B è di 30°, e, essendo quello in K retto, l'angolo in C risulta di 60°.
Pertanto:
[math]BC=2CK=4x\\KB=CK\sqrt{3}=2x\sqrt{3}[/math]
Consideriamo il triangolo DHA. Sappiamo per ipotesi che l'angolo in A è di 60°, e, essendo quello in H retto, l'angolo in D risulta di 30°.
Pertanto:
[math]AD=\frac{2}{3}DH\sqrt{3}=\frac{4}{3}x\sqrt{3}\\AH=\frac{2}{3}x\sqrt{3}[/math]
Poniamo DC=y. Sappiamo che nel trapezio circoscritto ad una circonferenza la somma dei lati opposti è uguale. Perciò da questa equazione ricaviamo DC in funzione di x.
[math]AB+DC=AD+CB\\\frac{2}{3}x\sqrt{3}+y+2x\sqrt{3}+y=\frac{4}{3}x\sqrt{3}+4x\\\frac{2x\sqrt{3}+3y+6x\sqrt{3}+3y}{3}=\frac{4x\sqrt{3}+12x}{3}\\4x\sqrt{3}+6y=12x\\3y=6x-2x\sqrt{3}\\y=DC=\frac{6x-2x\sqrt{3}}{3}[/math]
Ora, conoscendo tutti i lati, è possibile ricavare il valore di x dall'equazione risolvente impostata con il perimetro. Ricordo che x è il raggio della circonferenza inscritta.
[math]P(ABCD)=AB+BC+CD+DA\\24(1+\sqrt{3})=\frac{2}{3}x\sqrt{3}+\frac{6x-2x\sqrt{3}}{3}+2x\sqrt{3}+4x+\frac{6x-2x\sqrt{3}}{3}+\frac{4}{3}x\sqrt{3}\\\frac{72(1+\sqrt{3})}{3}=\frac{2x\sqrt{3}+6x-2x\sqrt{3}+6x\sqrt{3}+12x+6x-2x\sqrt{3}+4x\sqrt{3}}{3}\\72+72\sqrt{3}=24x+8x\sqrt{3}\\3x+x\sqrt{3}=9+9\sqrt{3}\\\sqrt{3}(x\sqrt{3}+x)=\sqrt{3}(3\sqrt{3}+9)\\x\sqrt{3}+x=3\sqrt{3}+9\\x(\sqrt{3}+1)=3\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)\\x=3\sqrt{3}[/math]
Pertanto
[math]OR=3\sqrt{3}\;cm[/math]
Ti ho scritto tutti i passaggi affinchè tu capisca meglio i procedimenti...;)
ok ok non ti preoccupare ehe h
Procedo un po' alla volta a scrivere la soluzione, modificando il messaggio di prima, perchè i comandi TeX delle formule da scrivere sono abbastanza complicate in questo problema...e non vorrei sbagliare...comunque dai sempre un'occhiata al mio primo messaggio, che pian piano lo modifico ;)!
ah ok sicchè scrivi tutto li?
Si per il primo problema...l'ho terminato...:yes;)!!!
ok grandissimo .... spero ti riescano bene altrettanto anche gli altri
Allora nel secondo problema il perimetro e una delle due altezze mi vengono giuste, ma l'altra no :con! Cioè, io ho trovato:
...E queste sono corrette...ma poi:
...Invece di:
...Guarda se per caso hai scritto tu male il risultato, altrimenti controllo per l'ennesima volta i conti...poi ti inserisco tutti i calcoli :yes!
[math]P=120\;cm\\h_2=\frac{40}{3}\sqrt{2}\;cm[/math]
...E queste sono corrette...ma poi:
[math]h_1=\frac{80}{3}\sqrt{2}\;cm[/math]
...Invece di:
[math]h_1=\frac{60}{3}\sqrt{2}\;cm[/math]
...Guarda se per caso hai scritto tu male il risultato, altrimenti controllo per l'ennesima volta i conti...poi ti inserisco tutti i calcoli :yes!
no non l'ho scritto male
2) In un trapezio isoscele circoscritto ad una circonferenza il punto di contatto divide ciascuno dei due lati non paralleli in due parti una doppia dell'altra. Sapendo che la misura dell'area è 600 radicedi2 cm^2, determinare quella del perimetro. Determinare inoltre le misure delle distanze degli estremi di uno dei lati non paralleli dalla retta cui appartiene l'altro.
Sia ABCD il trapezio isoscele circoscritto alla circonferenza, tale che AD e CB siano i lati obliqui congruenti e DH e CK siano le altezze. Chiamiamo M, N e L i punti di contatto rispettivamente di AD, BC e AB con la circonferenza, e O il centro della stessa. Tracciamo, poi, a partire da A l'altezza AR perpendicolare a BC (la chiamiamo h1), e da D l'altezza DP perpendicolare a BC (cioè h2: quest'ultima cade sul prolungamento di BC, quindi non all'interno del trapezio.
Chiamiamo
Sappiamo che, essendo circoscritto ad una circonferenza, nel trapezio la somma dei lati opposti è uguale. Quindi:
Da cui, osservando che
Perciò HBC è isoscele e
Essendo però
Perciò:
Ricaviamo il valore di x dall'equazione risolvente:
Quindi:
Il perimetro sarà pertanto:
Dobbiamo riuscire a trovare la misura di AR (h1): io ho pensato di trovarla dalla formula inversa dell'area di ABC; infatti h1 è altezza di ABC relativa alla base BC. Ci serve però l'area del triangolo. Troviamo direttamente la doppia area, visto che poi effettivamente serve solo quella:
Ora, tramite la formula inversa, troviamo AR:
Perciò:
Lo stesso ragionamento va fatto per la seconda altezza richiesta: in questo caso va dapprima trovata l'area di DCB e poi applicata la formula inversa per trovare l'altezza relativa a CB. Qui, per trovare l'area, non vedo altri modi che la formula di Erone.
Dunque la formula dice:
dove p è il semiperimetro, non il perimetro!
Calcoliamo:
Sappiamo che:
Sarà allora:
Applichiamo la formula di Erone:
Ricaviamo, infine (e direi anche finalmente :lol), la misura di h2:
Pertanto si ha:
Sia ABCD il trapezio isoscele circoscritto alla circonferenza, tale che AD e CB siano i lati obliqui congruenti e DH e CK siano le altezze. Chiamiamo M, N e L i punti di contatto rispettivamente di AD, BC e AB con la circonferenza, e O il centro della stessa. Tracciamo, poi, a partire da A l'altezza AR perpendicolare a BC (la chiamiamo h1), e da D l'altezza DP perpendicolare a BC (cioè h2: quest'ultima cade sul prolungamento di BC, quindi non all'interno del trapezio.
Chiamiamo
[math]DM=CN=x \qquad e \qquad MA=NB=2x[/math]
Sappiamo che, essendo circoscritto ad una circonferenza, nel trapezio la somma dei lati opposti è uguale. Quindi:
[math]AD+BC=AB+DC=6x[/math]
Da cui, osservando che
[math]AB=2KB+HK \qquad e \qquad DC=HK[/math]
, si ricava:[math]2HK+2KB=6x\\HK+KB=HB=3x[/math]
Perciò HBC è isoscele e
[math]HB=CB[/math]
.Essendo però
[math]LB=NB=2x[/math]
se si considerano ONB e OLB, allora si deduce:[math]AB=4x\\DC=KB=2x\\AH=KB=x[/math]
Perciò:
[math]DH=\sqrt{AD^2-AH^2}=\sqrt{9x^2-x^2}=\sqrt{8x^2}=2x\sqrt{2}[/math]
Ricaviamo il valore di x dall'equazione risolvente:
[math]A=\frac{(AB+DC)*DH}{2}\\600\sqrt{2}=\frac{6x*2x\sqrt{2}}{2}\\6x^2=600\\x^2=100\\x=10[/math]
Quindi:
[math]AB=40\;cm\\BC=AD=30\;cm\\DC=20\;\\DH=CK=20\sqrt{2}\;cm[/math]
Il perimetro sarà pertanto:
[math]P=AB+BC+CD+DA=40+30+20+30=120\;cm[/math]
Dobbiamo riuscire a trovare la misura di AR (h1): io ho pensato di trovarla dalla formula inversa dell'area di ABC; infatti h1 è altezza di ABC relativa alla base BC. Ci serve però l'area del triangolo. Troviamo direttamente la doppia area, visto che poi effettivamente serve solo quella:
[math]2A(ABC)=AB*CK=40*20\sqrt{2}[/math]
Ora, tramite la formula inversa, troviamo AR:
[math]h_1=\frac{40*20\sqrt{2}}{30}=\frac{40*2\sqrt{2}}{3}=\frac{80}{3}\sqrt{2}[/math]
Perciò:
[math]h_1=\frac{80}{3}\sqrt{2}\;cm[/math]
Lo stesso ragionamento va fatto per la seconda altezza richiesta: in questo caso va dapprima trovata l'area di DCB e poi applicata la formula inversa per trovare l'altezza relativa a CB. Qui, per trovare l'area, non vedo altri modi che la formula di Erone.
Dunque la formula dice:
[math]A=\sqrt{p*(p-a)*(p-b)*(p-c)}[/math]
dove p è il semiperimetro, non il perimetro!
Calcoliamo:
[math]DB=AC=\sqrt{HB^2+DH^2}=\sqrt{30^2+20\sqrt{2}^2}=\sqrt{900+800}=\sqrt{1700}=10\sqrt{17}[/math]
Sappiamo che:
[math]DB=a=10\sqrt{17}\\DC=b=20\\CB=c=30[/math]
Sarà allora:
[math]P(DBC)=DB+DC+BC=10\sqrt{17}+20+30=50+10\sqrt{17}=10(5+\sqrt{17})\\p(DBC)=\frac{P}{2}=5(5+\sqrt{17})\\p-a=5(5+\sqrt{17})-10\sqrt{17}=5(5-\sqrt{17})\\p-b=5(5+\sqrt{17})-20=5(\sqrt{17}-1)\\p-c=5(5+\sqrt{17})-30=5(\sqrt{17}+1)[/math]
Applichiamo la formula di Erone:
[math]A=\sqrt{p*(p-a)*(p-b)*(p-c)}\\A=\sqrt{5(5+\sqrt{17})*5(5-\sqrt{17})*5(\sqrt{17}-1)*5(\sqrt{17}+1)}\\A=25\sqrt{(5+\sqrt{17})*(5-\sqrt{17})*(\sqrt{17}-1)*(\sqrt{17}+1)}\\A=25\sqrt{(25-17)*(17-1)}\\A=25\sqrt{8*16}\\A=200\sqrt{2}[/math]
Ricaviamo, infine (e direi anche finalmente :lol), la misura di h2:
[math]h_2=\frac{2*200\sqrt{2}}{30}=\frac{400\sqrt{2}}{30}=\frac{40}{3}\sqrt{2}[/math]
Pertanto si ha:
[math]h_2=DP=\frac{40}{3}\sqrt{2}\;cm[/math]
ok grazie mille
Allora ho ricontrollato i conti che avevo fatto all'inizio e li ho confrontati con un'altra formula che deriva da quella di Erone...viene lo stesso identico risultato (i conti li ho fatti con la calcolatrice), quindi: o ho sbagliato totalmente a considerare la figura io (ma non credo) oppure è giusto il mio risultato, non quello che il libro ti mette...;)
...Che stupido che sono....mi sono andato a complicare la vita con Erone non accorgendomi di un'altra via MOLTO più semplice e veloce....:lol:lol....ma comunque il risultato è quello che dico io!
Adesso modifico l'altro messaggio e ti inserisco i calcoli :yes!
...Che stupido che sono....mi sono andato a complicare la vita con Erone non accorgendomi di un'altra via MOLTO più semplice e veloce....:lol:lol....ma comunque il risultato è quello che dico io!
Adesso modifico l'altro messaggio e ti inserisco i calcoli :yes!
ok grazie molte se ce la fai ad aiutarti da qualcuno nel lavoro ti metto anche queste due equazioi col valore assoluto che non mi vengono:
|x^2 - 3x + 1| = | 4x^2 - 5| .............. [-2/1/((3+-rad89)/10)]
|x - 4| + |x + 5| = |x - 2| ..............[-7/3 ; 11/3]
queste so che le farai in un batter d'occhio :Lol: ma prenditi tutto il tempo tanto mi servono per sabato
|x^2 - 3x + 1| = | 4x^2 - 5| .............. [-2/1/((3+-rad89)/10)]
|x - 4| + |x + 5| = |x - 2| ..............[-7/3 ; 11/3]
queste so che le farai in un batter d'occhio :Lol: ma prenditi tutto il tempo tanto mi servono per sabato
3) Dato il triangolo rettangolo ABC, i cui cateti AB e AC sono proporzionali ai numeri 4 e 3, da M, punto medio di AB, si conduca la perpendicolare MP all’ipotenusa BC e da P la perpendicolare PH al cateto AC. Determinare il rapporto tra l’area del quadrilatero AMPH e quella del triangolo ABC. Supposta poi uguale a 600 cm^2 la misura dell’area del triangolo ABC determinare la misura del perimetro del quadrilatero AMPH.
Segui il testo per la costruzione della figura. Chiama AR l'altezza di ABC relativa a BC.
Dalla proporzione
Sarà secondo la terna pitagorica
Quindi:
Osserva che per il primo criterio
Troviamo che:
Per il teorema di Pitagora in ARB, otteniamo BR:
Per il teorema di Talete si capisce come, essendo
Perciò:
Si osservi, poi, la similitudine tra ABC e PHC, data per il primo criterio dalla congruenza degli angoli retti (in A e in H) e dall'angolo comune in C.
Pertanto:
Dal teorema di Pitagora applicato in PHC ricaviamo la misura di PH:
Ora calcoliamo AH:
Osserva che il quadrilatero AMPH è un trapezio, avendo el due basi parallele tra loro:
Perciò per trovare l'area di AMPH applichiamo la regola:
Facciamo ora il rapporto fra le aree:
Supponiamo adesso che:
Saranno poi:
Calcoliamo, infine, il perimetro del trapezio:
Segui il testo per la costruzione della figura. Chiama AR l'altezza di ABC relativa a BC.
Dalla proporzione
[math]AB:AC=4:3[/math]
ricaviamo che [math]AB=4x \qquad e \qquad AC=3x[/math]
Sarà secondo la terna pitagorica
[math]BC=5x[/math]
.Quindi:
[math]AR=\frac{AB*AC}{BC}=\frac{4x*3x}{5x}=\frac{12}{5}x[/math]
Osserva che per il primo criterio
[math]ARB\sim MPB[/math]
, avendo entrambi l'angolo retto (in R e in P) e l'angolo in B comune.Troviamo che:
[math]BM:MP=AB:AR\\MP=\frac{2x*\frac{12}{5}x}{4x}=\frac{6}{5}x[/math]
Per il teorema di Pitagora in ARB, otteniamo BR:
[math]BR=\sqrt{AB^2-AR^2}=\sqrt{16x^2-\frac{144}{25}x^2}=\sqrt{\frac{256}{25}x^2}=\frac{16}{5}x[/math]
Per il teorema di Talete si capisce come, essendo
[math]MP\||AR[/math]
e [math]BM=MA[/math]
, allora [math]BP=PR=\frac{BR}{2}=\frac{8}{5}x[/math]
Perciò:
[math]PC=BC-BP=5x-\frac{8}{5}x=\frac{17}{5}x[/math]
Si osservi, poi, la similitudine tra ABC e PHC, data per il primo criterio dalla congruenza degli angoli retti (in A e in H) e dall'angolo comune in C.
Pertanto:
[math]AC:HC=BC:PC\\HC=\frac{3x*\frac{17}{5}x}{5x}=\frac{51}{25}x[/math]
Dal teorema di Pitagora applicato in PHC ricaviamo la misura di PH:
[math]PH=\sqrt{PC^2-HC^2}=\sqrt{\frac{289}{25}x^2-\frac{2601}{625}x^2}=\sqrt{\frac{4624}{625}x^2}=\frac{68}{25}x[/math]
Ora calcoliamo AH:
[math]AC-HC=3x-\frac{51}{25}x=\frac{24}{25}x[/math]
Osserva che il quadrilatero AMPH è un trapezio, avendo el due basi parallele tra loro:
[math]AM\perp AH \qquad e \qquad PH\perp AH\Longrightarrow AM\||PH[/math]
Perciò per trovare l'area di AMPH applichiamo la regola:
[math]A(AMPH)=\frac{(AM+PH)*AH}{2}=\frac{(\frac{68}{25}x+2x)*\frac{24}{25}x}{2}=\frac{1416}{625}x^2[/math]
[math]A(ABC)=\frac{AB*BC}{2}=\frac{4x*3x}{2}=6x[/math]
Facciamo ora il rapporto fra le aree:
[math]\frac{A(AMPH)}{A(ABC)}=\frac{\frac{1416}{625}x}{6x}=\frac{236}{625}[/math]
Supponiamo adesso che:
[math]A(ABC)=600\;cm^2[/math]
. Quindi:[math]6x^2=600\\x^2=100\\x=10[/math]
Saranno poi:
[math]AM=20\;cm\\MP=12\;cm\\PH=\frac{136}{5}\;cm\\AH=\frac{48}{5}\;cm[/math]
Calcoliamo, infine, il perimetro del trapezio:
[math]P(AMPH)=AM+MP+PH+AH=20+12+\frac{136}{5}+\frac{48}{5}=\frac{100+60+136+48}{5}= \frac{344}{5}= 68,8\;cm\\[/math]
[math]|x^2 - 3x + 1| = | 4x^2 - 5|[/math]
Allora studiamo i due valori assoluti:
1)
[math]x^2-3x+1>0[/math]
[math]\Delta=5[/math]
[math]x_{1/2}= \frac{3\pm sqrt5}{2}[/math]
[math]x\frac{3+ sqrt5}{2}[/math]
2)
[math]4x^2-5>0[/math]
[math]\Delta=80[/math]
[math]x_{1/2}=\pm sqrt {\frac{5}{4}}[/math]
[math]xsqrt{\frac{5}{4}}[/math]
Riassumendo, detti
[math]f_1(x)[/math]
il primo polinomio sotto il valore assoluto e[math]f_2(x)[/math]
il secondo abbiamo 3 casi:I caso:
[math]x\frac{3+sqrt5}{2}f_1(x)>0\wedge f_2(x) >0[/math]
II caso:
[math]\frac{3-sqrt5}{2} < x < -sqrt {\frac{5}{4}} \wedge sqrt {\frac{5}{4}}< x < \frac{3+sqrt5}{2} f_1(x)0[/math]
III caso:
[math]-sqrt{\frac{5}{4}}
grandissimi adesso mi manca più il 4 problema e la seconda equazione
4) Un trapezio isoscele è circoscritto ad una circonferenza il cui raggio misura r; i suoi angoli acuti sono ampi 45°. Calcolare le misure del perimetro del trapezio e del perimetro del triangolo avente per vertici gli stremi della base maggiore del trapezio ed il punto di intersezione dei suoi lati non paralleli.
Costruisci il trapezio isoscele ABCD circoscritto alla circonferenza di raggio OR=r. Siano DH e CK le altezza relative alla base AB, mentre sia E il punto d'incontro dei prolungamenti dei lati obliqui congruenti AD e CB (questo si trova sopra la base minore DC).
Sappiamo che gli angoli acuti della base (cioè in A e B) sono di 45°; avendo tracciato le altezze DH e CK, si osserva che si formano due triangoli rettangoli congruenti ADH e BCK con gli angoli adiacenti alle ipotenuse AD e BC di 45°.
Pertanto:
Chiamiamo
Sappiamo che, essendo circoscritto ad una circonferenza, nel trapezio ABCD la somma dei lati opposti è uguale. Quindi:
Allora:
Troviamo così la misura del perimetro del trapezio ABCD:
Ora osserviamo il triangolo AER: se OR è il raggio perpendicolare ad AB prima costruito, allora ER è perpendicolare ad AB. Essendo, poi, l'angolo in A di 45°, allora anche l'angolo in E è di 45°. Pertanto si deduce che:
Sappiamo che gli angoli in A e in B sono uguali, quindi ABE è isoscele:
Calcoliamo, infine, il perimetro di ABE:
Costruisci il trapezio isoscele ABCD circoscritto alla circonferenza di raggio OR=r. Siano DH e CK le altezza relative alla base AB, mentre sia E il punto d'incontro dei prolungamenti dei lati obliqui congruenti AD e CB (questo si trova sopra la base minore DC).
Sappiamo che gli angoli acuti della base (cioè in A e B) sono di 45°; avendo tracciato le altezze DH e CK, si osserva che si formano due triangoli rettangoli congruenti ADH e BCK con gli angoli adiacenti alle ipotenuse AD e BC di 45°.
Pertanto:
[math]DH=AH=CK=KB=2r\\AD=BC=2r\sqrt{2}[/math]
Chiamiamo
[math]DC=y[/math]
.Sappiamo che, essendo circoscritto ad una circonferenza, nel trapezio ABCD la somma dei lati opposti è uguale. Quindi:
[math]AB+DC=AD+BC\\2r+y+2r+y=2r\sqrt{2}+2r\sqrt{2}\\4r+2y=4r\sqrt{2}\\y=2r\sqrt{2}-2r\\DC=2r\sqrt{2}-2r[/math]
Allora:
[math]AB=2r+2r\sqrt{2}-2r+2r=2r\sqrt{2}+2r[/math]
Troviamo così la misura del perimetro del trapezio ABCD:
[math]P(ABCD)=2r\sqrt{2}+2r+2r\sqrt{2}+2r\sqrt{2}-2r+2r\sqrt{2}=8r\sqrt{2}[/math]
Ora osserviamo il triangolo AER: se OR è il raggio perpendicolare ad AB prima costruito, allora ER è perpendicolare ad AB. Essendo, poi, l'angolo in A di 45°, allora anche l'angolo in E è di 45°. Pertanto si deduce che:
[math]AR=\frac{AB}{2}=\frac{2r\sqrt{2}+2r}{2}=r\sqrt{2}+r\\AE=(r\sqrt{2}+r)\sqrt{2}=2r+r\sqrt{2}[/math]
Sappiamo che gli angoli in A e in B sono uguali, quindi ABE è isoscele:
[math]AE=BE=2r+r\sqrt{2}[/math]
Calcoliamo, infine, il perimetro di ABE:
[math]P=2r\sqrt{2}+2r+2r+r\sqrt{2}+2r+r\sqrt{2}=6r+4r\sqrt{2}=2r(3+2\sqrt{2})[/math]
Innanzitutto, faccio un bell'applauso a Gaara e Aleio: sti due mi stanno a da' un sacco di soddisfazioni! :lol
Poi passo a risolvere qualcosina!
La seconda equazione:
Ci sono, a priori, 8 casi da considerare, visto che le possibilità sono:
tutti e tre positivi, 2 positivi e 1 negativo... ecc.
Innanzitutto, vediamo che
Quindi i casi sono:
1) tutti e tre positivi:
2) 2 positivi, 1 negativo: nessuna soluzione
3) 1 positivo, 1 negativo, 1 positivo: nessuna soluzione
4) 1 positivo, 2 negativi: nessuna soluzione
5) 1 negativo, 2 positivi: [math]2\leq x
Poi passo a risolvere qualcosina!
La seconda equazione:
[math]|x - 4| + |x + 5| = |x - 2|[/math]
Ci sono, a priori, 8 casi da considerare, visto che le possibilità sono:
tutti e tre positivi, 2 positivi e 1 negativo... ecc.
Innanzitutto, vediamo che
[math]x-4\geq 0\Rightarrow x\geq 4[/math]
[math]x+5\geq 0\Rightarrow x\geq -5[/math]
[math]x-2\geq 0\Rightarrow x\geq 2[/math]
Quindi i casi sono:
1) tutti e tre positivi:
[math]x\geq 4[/math]
2) 2 positivi, 1 negativo: nessuna soluzione
3) 1 positivo, 1 negativo, 1 positivo: nessuna soluzione
4) 1 positivo, 2 negativi: nessuna soluzione
5) 1 negativo, 2 positivi: [math]2\leq x
ah ok grandissimo !
Thanks for the compliments, ciampax........e si scrive così :O_o!!!!!!!!
.......:lol:lol:lol:lol:lol............
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