[29] Esercizio Insiemi
Buonasera, un dubbio.
Esercizio
In una classe di 24 studenti, 10 seguono un corso di francese, 12 un corso d'inglese e 5 nessun corso.
Quanti studenti seguono entrambi i corsi di lingua?
Soluzione
Calcolo quanti studenti seguono almeno un corso: 24 - 5 = 19
Poichè $|F \cup I| = 22$ allora calcolando $22 - 19 = 3$ abbiamo il numero di studenti che seguono entrambi i corsi.
La risposta è giusta ma vorrei essere più formale dal punto di vista matematico. Quel che voglio dire è che vorrei utilizzare un modo più preciso per risolvere questo tipo di esercizi. Ne ho risolti altri simili ma tutti risolti in questo modo "intuitivo". Avete suggerimenti? Grazie
PS: Sapete come si scrive in latex il simbolo di non inclusione? Ho provato $\not\subseteq$ ma non funziona.
Esercizio
In una classe di 24 studenti, 10 seguono un corso di francese, 12 un corso d'inglese e 5 nessun corso.
Quanti studenti seguono entrambi i corsi di lingua?
Soluzione
Calcolo quanti studenti seguono almeno un corso: 24 - 5 = 19
Poichè $|F \cup I| = 22$ allora calcolando $22 - 19 = 3$ abbiamo il numero di studenti che seguono entrambi i corsi.
La risposta è giusta ma vorrei essere più formale dal punto di vista matematico. Quel che voglio dire è che vorrei utilizzare un modo più preciso per risolvere questo tipo di esercizi. Ne ho risolti altri simili ma tutti risolti in questo modo "intuitivo". Avete suggerimenti? Grazie
PS: Sapete come si scrive in latex il simbolo di non inclusione? Ho provato $\not\subseteq$ ma non funziona.
Risposte
"DavidGnomo":
La risposta è giusta ma vorrei essere più formale dal punto di vista matematico. Quel che voglio dire è che vorrei utilizzare un modo più preciso per risolvere questo tipo di esercizi. Ne ho risolti altri simili ma tutti risolti in questo modo "intuitivo". Avete suggerimenti? Grazie
Lo formalizzi con il principio di inclusione-esclusione. Hai che dato un insieme \(A\), e denotiamo \( \left| A \right| \) la sua cardinalità, i.e. numero di elementi, e inoltre siano dati \( A_1, \ldots, A_n \) dei sottoinsiemi di \(A\) non necessariamente disgiunti. Allora
\[ \left| \displaystyle{\bigcup_{j=1}^{n}} A_j \right| = \sum_{k=1}^{n} (-1)^{k+1} \sum_{1 \leq j_1 < \ldots < j_k \leq n } \left| \displaystyle{\bigcap_{i=1}^{k}} A_{j_i} \right| \]
Questa formula complicata con due sottoinsiemi \(A_1,A_2 \) si traduce semplicemente in
\[ \left| A_1 \cup A_2 \right| = \left| A_1 \right| + \left| A_2 \right| - \left| A_1 \cap A_2 \right| \]
mentre con 3 sottoinsiemi \( A_1,A_2,A_3 \) hai
\[ \left| A_1 \cup A_2 \cup A_3 \right| = \left| A_1 \right| + \left| A_2 \right| + \left| A_3 \right| - \left| A_1 \cap A_2 \right| - \left| A_1 \cap A_3 \right| - \left| A_2 \cap A_3 \right| + \left| A_1 \cap A_2 \cap A_3 \right| \]
Suddividi i tuoi \( A_1 \) con studenti di francese, \(A_2 \) studenti di inglese, e \(A_3 \) studenti nullafacenti.
Hai che
\[ \left| A_1 \cup A_2 \right| = 19 = \left| A_1 \right| + \left| A_2 \right| - \left| A_1 \cap A_2 \right| \ \ \ \ (1.0) \]
inoltre puoi sostituire i valori che conosci e ottieni in (1.0)
\[ 19 = 10 + 12 - \left| A_1 \cap A_2 \right| \ \ \ \ (1.0) \]
da cui
\[ \left| A_1 \cap A_2 \right| = 22-19=3 \ \ \ \ (1.0) \]
Alternativa (più complicata):
oppure usare quella per 3 insiemi hai che
\[ \left| A_1 \cup A_2 \cup A_3 \right| = 24 \ \ \ \ (2.0) \]
sostituisci i valori che conosci e usando il principio di inclusione-esclusione hai che (2.0) si può scrivere anche
\[ 24 = 10+ 12 + 5 - \left| A_1 \cap A_2 \right| - 0 - 0 + 0 \ \ \ \ (2.0) \]
Domanda per te: perché possiamo dire che \( \left| A_1 \cap A_3 \right| = \left| A_2 \cap A_3 \right| = \left| A_1 \cap A_2 \cap A_3 \right| = 0 \) ??
E ottenere quindi che
\[ \left| A_1 \cap A_2 \right|= 27-24 = 3 \]
L'intuizione che ci sta dietro a quella formula è facile da capire facendosi un diagramma di Venn classico. Ad esempio con due insiemi \( A_1, A_2 \) vuoi capire quanti elementi contiene l'unione, conti prima gli elementi di \(A_1 \) poi gli elementi di \(A_2\) solo che hai contato due volte gli elementi che stanno sia in \(A_1\) sia in \(A_2\) e quindi devi togliere gli elementi di \( \left| A_1 \cap A_2 \right| \), altrimenti li avresti contati due volte. Allo stesso modo prova a capire l'intuizione con tre insiemi usano i diagrammi di Venn.
L'idea rimane invariata!
"DavidGnomo":
PS: Sapete come si scrive in latex il simbolo di non inclusione? Ho provato $\not\subseteq$ ma non funziona.
Per il simbolo di non inclusione è corretto \not\subseteq, solo che lo hai messo tra i due dollari "$" mentre devi metterlo tra "\ (" e "\ )", senza gli spazi. E ottieni \( \not\subseteq \)
Vediamo se ho capito.
Possiamo dire
$| A_1 \cap A_3| = | A_2 \cap A_3| = | A_1 \cap A_2 \cap A_3| = 0$
perchè $A_3$ è l'insieme dei fannulloni (ahah) quindi è un insieme vuoto dato che non seguono alcun corso (non hanno corsi in comune con gli altri gruppi). Per cui abbiamo $A_3 = \emptyset$
Infatti:
Sia $A$ un insieme qualsiasi, abbiamo che $A \cap \emptyset = \emptyset$, da cui
$A_1 \cap A_3 = \emptyset$
$A_2 \cap A_3 = \emptyset$
$A_1 \cap A_2 \cap A_3 = \emptyset$.
Inoltre, l'insieme vuoto è unico.
Infine, poichè $|\emptyset| = 0$ allora possiamo dire che
$| A_1 \cap A_3| = | A_2 \cap A_3| = | A_1 \cap A_2 \cap A_3| = 0$
Giusto?
Possiamo dire
$| A_1 \cap A_3| = | A_2 \cap A_3| = | A_1 \cap A_2 \cap A_3| = 0$
perchè $A_3$ è l'insieme dei fannulloni (ahah) quindi è un insieme vuoto dato che non seguono alcun corso (non hanno corsi in comune con gli altri gruppi). Per cui abbiamo $A_3 = \emptyset$
Infatti:
Sia $A$ un insieme qualsiasi, abbiamo che $A \cap \emptyset = \emptyset$, da cui
$A_1 \cap A_3 = \emptyset$
$A_2 \cap A_3 = \emptyset$
$A_1 \cap A_2 \cap A_3 = \emptyset$.
Inoltre, l'insieme vuoto è unico.
Infine, poichè $|\emptyset| = 0$ allora possiamo dire che
$| A_1 \cap A_3| = | A_2 \cap A_3| = | A_1 \cap A_2 \cap A_3| = 0$
Giusto?
"DavidGnomo":
Per cui abbiamo $A_3 = \emptyset$
No. Ci sono 5 studenti in \( A_3\), come fa ad essere vuoto?
"DavidGnomo":
$A_1 \cap A_3 = \emptyset$
$A_2 \cap A_3 = \emptyset$
$A_1 \cap A_2 \cap A_3 = \emptyset$.
Questo è giusto! Perché?
Noooooooooooooooooooo, ho scritto una grande cavolata arghhh! Non modifico perchè mi sia da monito!
Infatti, $|A_3| = 5$ -_-
E' giusto perchè in $A_1$ ce $A_2$ ci sono studenti che seguono almeno un corso, in $A_3$ ci sono studenti che non seguono niente e quindi non hanno elementi in comune ovvero sono disgiunti.
Infatti, $|A_3| = 5$ -_-
E' giusto perchè in $A_1$ ce $A_2$ ci sono studenti che seguono almeno un corso, in $A_3$ ci sono studenti che non seguono niente e quindi non hanno elementi in comune ovvero sono disgiunti.
...poi c'è la versione spiccia.
24-5=19 studenti frequentano almeno un corso.
I corsi sono frequentati da 10+12=22 studenti.
Quindi 22-19=3 studenti frequentano entrambi i corsi
24-5=19 studenti frequentano almeno un corso.
I corsi sono frequentati da 10+12=22 studenti.
Quindi 22-19=3 studenti frequentano entrambi i corsi
"Bokonon":
...poi c'è la versione spiccia.
24-5=19 studenti frequentano almeno un corso.
I corsi sono frequentati da 10+12=22 studenti.
Quindi 22-19=3 studenti frequentano entrambi i corsi
Si ma l'OP aveva domandato come fare in modo formale, mi pare che la versione "spiccia" l'avesse già capita da sé.
Comunque sia
"DavidGnomo":
Noooooooooooooooooooo, ho scritto una grande cavolata arghhh! Non modifico perchè mi sia da monito!
Infatti, $ |A_3| = 5 $ -_-
Non si modifica altrimenti la discussione per chi leggerà in futuro perde di senso. E non c'è nulla di male a dire qualcosa di sbagliato.
"DavidGnomo":
E' giusto perchè in $ A_1 $ ce $ A_2 $ ci sono studenti che seguono almeno un corso, in $ A_3 $ ci sono studenti che non seguono niente e quindi non hanno elementi in comune ovvero sono disgiunti.
Esattamente.
E ad ogni modo hai poi capito l'intuizione che v'è dietro alla principio di inclusione-esclusione?
"3m0o":
L'intuizione che ci sta dietro a quella formula è facile da capire facendosi un diagramma di Venn classico. Ad esempio con due insiemi \( A_1, A_2 \) vuoi capire quanti elementi contiene l'unione, conti prima gli elementi di \( A_1 \) poi gli elementi di \( A_2 \) solo che hai contato due volte gli elementi che stanno sia in \( A_1 \) sia in \( A_2 \) e quindi devi togliere gli elementi di \( \left| A_1 \cap A_2 \right| \), altrimenti li avresti contati due volte. Allo stesso modo prova a capire l'intuizione con tre insiemi usano i diagrammi di Venn.
L'idea rimane invariata!
Esattamente, è una cosa che avevo intuito quando andando a contare gli elementi dell'unione non mi tornava e dovevo per forza sottrarre la loro intersezione per il motivo da te descritto (ho usato i diagrammi)! E' che non riuscivo a formalizzare come mi sarebbe piaciuto e come tu hai fatto.
Grazie ancora a tutti! Alla prossima
Grazie ancora a tutti! Alla prossima
"3m0o":
\[ \left| A_1 \cup A_2 \cup A_3 \right| = \left| A_1 \right| + \left| A_2 \right| + \left| A_3 \right| - \left| A_1 \cap A_2 \right| - \left| A_1 \cap A_3 \right| - \left| A_2 \cap A_3 \right| + \left| A_1 \cap A_2 \cap A_3 \right| \]
Quindi riesci a spiegarmi, come ho fatto io, il motivo per cui questo è vero? Ovvero perché sommo e sottraggo quei termini?
Perchè se due insiemi sono intersecati, la loro unione comprende anche gli elementi di entrambi.
Prendiamo ad esempio due insiemi $A$ e $B$.
Ci verrebbe naturale calcolare la cardinalità dell'unione in questo modo: $|A \cup B| = |A| + |B|$. Sommare, quindi gli elementi del primo insieme con il secondo.
Tuttavia, questa somma bruta andrebbe bene se $A \cap B = \emptyset$ (insiemi disgiunti).
Avendo, invece, degli elementi in comune, bisogna sottrarli dal totale.
Se gli insiemi sono tre, $A, B, C$ bisogna sottrarre anche le intersezioni comuni non solo ad $A, B$ ma anche $A, C$ e $B, C$.
Sempre per il motivo di non contare lo stesso elemento più di una volta.
La formula generale è quella che hai scritto nella prima risposta
PS: Se gli insiemi fossero digiunti allora $|A \cup B| = |A| + |B|$.
PSS: Scusa il ritardo nella risposta
Prendiamo ad esempio due insiemi $A$ e $B$.
Ci verrebbe naturale calcolare la cardinalità dell'unione in questo modo: $|A \cup B| = |A| + |B|$. Sommare, quindi gli elementi del primo insieme con il secondo.
Tuttavia, questa somma bruta andrebbe bene se $A \cap B = \emptyset$ (insiemi disgiunti).
Avendo, invece, degli elementi in comune, bisogna sottrarli dal totale.
Se gli insiemi sono tre, $A, B, C$ bisogna sottrarre anche le intersezioni comuni non solo ad $A, B$ ma anche $A, C$ e $B, C$.
Sempre per il motivo di non contare lo stesso elemento più di una volta.
La formula generale è quella che hai scritto nella prima risposta
PS: Se gli insiemi fossero digiunti allora $|A \cup B| = |A| + |B|$.
PSS: Scusa il ritardo nella risposta
"DavidGnomo":
Se gli insiemi sono tre, $A, B, C$ bisogna sottrarre anche le intersezioni comuni non solo ad $A, B$ ma anche $A, C$ e $B, C$.
Esatto, ma allora perché alla fine aggiungo \( \left| A \cap B \cap C \right| \) ?
Perchè sottraendo le varie intersioni prima, avremmo come risultato il numero degli elementi che appartengono solo ad $A, B, C$ e mancherebbero quelli appartenenti contemporaneamente a tutti e tre gli insiemi. Per questo aggiungiamo la cardinalità dell'insieme delle loro intersezioni.
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