2 semplici disequazioni.. Mi aiutate?

[John_Nash11]

Ciao a tutti.
Stavo facendo degli esercizi di disequazioni ma non mi tornano alcuni risultati, potreste aiutarmi a capire?
Gli esercizi sono questi:







Allora, secondo la soluzione l'esercizio 6 è vero, il 7 invece no. Perchè????
Il numero 8 invece, la b, bene o male sono riuscito a farlo.. Cioè ho trovato una soluzione approssimata facendo piccoli ragionamenti. ma non so cosa fare per arrivare alla soluzione corretta che è $R $$ - ((pi/6, (5pi)/6) + 2kpi)$

Mi spiegate i procedimenti?
Grazie mille!
Ciao.

[Steven11]

Ciao.

Prendi l'esercizio 7: moltiplicando per una quantità sicuramente positiva, quale $sqrtx$, non si altera la disequazione.
In realtà devi far caso a una cosa: se provi a sostituire $x=0$ nella disequazione (ii), essa è soddisfatta.
Ma se sostituisci zero nella disequazione (i), tutto perde di significato.

Analogamente per il 6, provando a sostituire $x=-2$
Ti torna?

Per la disequazione goniometrica a), è classico il metodo grafico, ovvero le intersezione che puoi facilmente trovare con la circonferenza goniometrica.
Altrimenti puoi dire che
$sinx+sqrt3cosx=2(1/2sinx+sqrt3/2cosx)=2[\cos(pi/3)sinx+sin(pi/3)cosx]=2sin(x+pi/6)$

Per l'ultima, devi solo trasformare il coseno quadro in un espressione avente il seno al quadrato, usando l'identità fondamentale.
Poi hai una disequazione di secondo grado in $sinx$

Ciao.

[cntrone]

steven una domanda..nella 7 si potrebbe dire semplicemente che hanno domini diversi?? ciao

[Steven11]

"cntrone":steven una domanda..nella 7 si potrebbe dire semplicemente che hanno domini diversi?? ciao

Direi di no.
Anche nella 6 hanno domini diversi; essi (i domini) differiscono solo per la presenza del $-2$.
Malgrado ciò, in nessuna delle due disequazioni l'incognita $x$ può assumere il valore $-2$, nel primo caso perché si annulla il denominatore, nel secondo caso perché semplicemente si otterrebbe una disuguaglianza falsa, ovvero $-10>0$

Il caso 7 invece, come dicevo, è un'altra storia, perché si hanno due diversi insiemi di soluzioni, dal momento che $x=0$ è accettabile e vero in un caso, e non in quell'altro.

Ciao.

[G.D.5]

Più in generale la risposta è no perché, per definizione, due equazioni o disequazioni sono equivalenti se e solo se hanno il medesimo insieme delle soluzioni, quindi il campo di esistenza non c'entra gran che.

[John_Nash11]

Grazie delle risposte ragazzi. Quindi in pratica, nel 6 sono equivalenti perchè comunque il punto x=-2 non è definito ne in i) ne in ii).
Mentre nel 7 nella i) lo zero non ha senso e nella ii) invece si.. Se è così allora ho capito.

Quindi non è comunque una questione di campo di esistenza? :-\

[_prime_number]

No, ti devi calcolare le rispettive soluzioni e vedere se sono uguali. In alcune magari vedi per caso o per intuizione che un valore funziona se lo metti in una e nell'altra no e puoi già dire che non sono equivalenti... Ma in generale ti devi calcolare i rispettivi insiemi soluzione.

Paola