2 problemi geometrici + 2 trinomie
ciao raga chi mi sa risolvere questi 2 problemini geometrici e queste due trinomie? grazie....
le trinomie:
X^6 - 3 moltiplicato a radice di 2 e a X^3 + 4 = 0
X^8 + 4X^4 - 5 = 0
e i problemi:
1) E' dato un rettangolo ABCD di base AB lunga a. Determinare un punto E sul lato DC tale che l'area del trapezio ABED sia 5 volte l'area del triangolo BCE. [EC=a/3]
2) Un trapezio rettangolo è circoscritto ad un cerchio di raggio 10cm. Determinare le basi del trapezio sapendo che il perimetro di questo misura 90cm. [x=30cm, y=15cm]
grazie mille per le future risposte
le trinomie:
X^6 - 3 moltiplicato a radice di 2 e a X^3 + 4 = 0
X^8 + 4X^4 - 5 = 0
e i problemi:
1) E' dato un rettangolo ABCD di base AB lunga a. Determinare un punto E sul lato DC tale che l'area del trapezio ABED sia 5 volte l'area del triangolo BCE. [EC=a/3]
2) Un trapezio rettangolo è circoscritto ad un cerchio di raggio 10cm. Determinare le basi del trapezio sapendo che il perimetro di questo misura 90cm. [x=30cm, y=15cm]
grazie mille per le future risposte
Risposte
[math]x^8 + 4x^4 - 5 = 0[/math]
Poniamo
[math]x^4 = y[/math]
ed [math]x^8 = y^{2}[/math]
L'equazione così diventa:
[math]y^2 + 4y - 5 = 0[/math]
Andiamo ora a risolvere come una normale equazione di 2° grado.
[math]\Delta= 16 + 20 = 36[/math]
[math]y_1 = \frac{-4 - 6}{2} = \frac{-10}{2} = -5[/math]
[math]y_2 = \frac{-4 + 6}{2} = \frac{2}{2} = 1[/math]
Andando a sostituire queste radici alle condizioni che avevamo imposto in precedenza.
Pertanto avremo:
[math]x^4 = y_1 \Rightarrow x^4 = 1 \Rightarrow x_{1,2} = \pm 1[/math]
[math]x^4 = y_2 \Rightarrow x^4 = -5 \Rightarrow [/math]
Nessuna soluzione in [math]\Re[/math]
Naturalmente le quattro soluzioni che abbiamo trovato sono solo quelle reali.
Ne esistono infatti altre sei immaginarie che sono:
[math]x_{3,4} = \pm i [/math]
[math]x_{5,6,7,8} = \pm \sqrt[4]{5} i[/math]
La prima equazione trinomia:
Indichiamo con sqrt(2) la radice quadrata di 2 e con * il simbolo di prodotto!
X^6 - 3*sqrt(2)*x^3 + 4 = 0
Poniamo x^3=y e x^6=y^2
y^2-3*sqrt(2)*y+4=0
Tenendo presente la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado, e il fatto che y1,2 si riferisce a tutte e due le soluzioni, e che +- sarebbe: più o meno, allora si procede:
y1,2 = [3*sqrt(2)+-sqrt(18-16)]/2
y1,2 = [3*sqrt(2)+-sqrt(2)]/2
y1 = [3*sqrt(2)+sqrt(2)]/2 = 4*sqrt(2) / 2 = 2*sqrt(2)
y2 = [3*sqrt(2)-sqrt(2)]/2 = 2*sqrt(2) / 2 = sqrt(2)
Tornando all'apposizione fatta prima, si ha:
x^3 = 2*sqrt(2)
oppure
x^3 = sqrt(2)
Primo caso:
x^3 = 2*sqrt(2)
Estrai la radice cubica da entrambe le parti: non serve mettere il +- perchè l'esponente della x è dispari e non pari.
x = radice cubica di 2*sqrt(2)
Porti dentro alla radice quadrata: siamo nel caso di estrazione successiva di radice, quindi moltiplichi gli indici delle radici e poi semplifichi con l'esponente del radicando:
x = radice cubica di sqrt(2^3)
x = radice sesta di 2^3
x = sqrt(2)
Secondo caso:
x^3 = sqrt(2)
Estrai anche qui la radice cubica:
x = radice cubica di sqrt(2)
Estrazione successiva di radici...
x = radice sesta di 2
Indichiamo con sqrt(2) la radice quadrata di 2 e con * il simbolo di prodotto!
X^6 - 3*sqrt(2)*x^3 + 4 = 0
Poniamo x^3=y e x^6=y^2
y^2-3*sqrt(2)*y+4=0
Tenendo presente la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado, e il fatto che y1,2 si riferisce a tutte e due le soluzioni, e che +- sarebbe: più o meno, allora si procede:
y1,2 = [3*sqrt(2)+-sqrt(18-16)]/2
y1,2 = [3*sqrt(2)+-sqrt(2)]/2
y1 = [3*sqrt(2)+sqrt(2)]/2 = 4*sqrt(2) / 2 = 2*sqrt(2)
y2 = [3*sqrt(2)-sqrt(2)]/2 = 2*sqrt(2) / 2 = sqrt(2)
Tornando all'apposizione fatta prima, si ha:
x^3 = 2*sqrt(2)
oppure
x^3 = sqrt(2)
Primo caso:
x^3 = 2*sqrt(2)
Estrai la radice cubica da entrambe le parti: non serve mettere il +- perchè l'esponente della x è dispari e non pari.
x = radice cubica di 2*sqrt(2)
Porti dentro alla radice quadrata: siamo nel caso di estrazione successiva di radice, quindi moltiplichi gli indici delle radici e poi semplifichi con l'esponente del radicando:
x = radice cubica di sqrt(2^3)
x = radice sesta di 2^3
x = sqrt(2)
Secondo caso:
x^3 = sqrt(2)
Estrai anche qui la radice cubica:
x = radice cubica di sqrt(2)
Estrazione successiva di radici...
x = radice sesta di 2
problema 1
(per questione di comodità)
AB=a
ED=b
AD=c
(b+a)*c/2=5*(((a-b)*c)/2)
da qui ne consegue ke
(c*b)/2+(a*c)/2=5(a*c)/2-5(b*c)/2
applicando il 2° principio di equivalenza si ha
c*b+a*c=5(a*c)-5(c*b)
c*b+5(c*b)=-(a*c)+5(a*c)
6(b*c)=4(a*c)
applicando la monotonia della divisione
6b=4a
b=4/6a
b=2/3a
se b=2/3a allora il pto E va messo a 1 distanza dal vertice C pari a a/3
(per questione di comodità)
AB=a
ED=b
AD=c
(b+a)*c/2=5*(((a-b)*c)/2)
da qui ne consegue ke
(c*b)/2+(a*c)/2=5(a*c)/2-5(b*c)/2
applicando il 2° principio di equivalenza si ha
c*b+a*c=5(a*c)-5(c*b)
c*b+5(c*b)=-(a*c)+5(a*c)
6(b*c)=4(a*c)
applicando la monotonia della divisione
6b=4a
b=4/6a
b=2/3a
se b=2/3a allora il pto E va messo a 1 distanza dal vertice C pari a a/3
Primo problema: E' dato un rettangolo ABCD di base AB lunga a. Determinare un punto E sul lato DC tale che l'area del trapezio ABED sia 5 volte l'area del triangolo BCE
Disegna il trapezio di base AB e sul lato DC traccia il segmento CE.
Per ipotesi abbiamo che:
- ABCD trapezio
- AB = a
- A(ABDE) = 5A(BCE)
La tesi da trovare è:
- EC=?
Pongo EC=x
DE = a-x
Chiamo DA=BC=y
A(ABDE) = 5A(BCE)
(a-x+a)y/2 = 5xy/2
Semplifichiamo il 2 e la y poichè presenti da entrambe le parti, naturalmente senza mettere condizioni di esistenza per la y perchè, essendo la misura di un lato, non può mai essere 0. Otteniamo:
2a - x = 5xy
Dalla quale si ricava facilmente
x = a/3
Perciò la tesi dimostrata è CE = a/3
Disegna il trapezio di base AB e sul lato DC traccia il segmento CE.
Per ipotesi abbiamo che:
- ABCD trapezio
- AB = a
- A(ABDE) = 5A(BCE)
La tesi da trovare è:
- EC=?
Pongo EC=x
DE = a-x
Chiamo DA=BC=y
A(ABDE) = 5A(BCE)
(a-x+a)y/2 = 5xy/2
Semplifichiamo il 2 e la y poichè presenti da entrambe le parti, naturalmente senza mettere condizioni di esistenza per la y perchè, essendo la misura di un lato, non può mai essere 0. Otteniamo:
2a - x = 5xy
Dalla quale si ricava facilmente
x = a/3
Perciò la tesi dimostrata è CE = a/3
la caratteristica di quadrilateri circoscritti a 1 circonferenza è ke la somma dei lati opposti è =
quindi sapendo da figura ke l'altezza = diametro allora altezza = 20cm
indicando con
a=base maggiore
b=base minore
c=altezza
d=lato obliquo
a+b=c+d
da qui discende ke
a+b=90/2
c+d=90/2
20+d=45 quindi d=25
per il teorema di Pitagora
a-b=15
quindi
a+a-15=45 2a=60 a=30
b=15 (soluzione del 2° problema)
quindi sapendo da figura ke l'altezza = diametro allora altezza = 20cm
indicando con
a=base maggiore
b=base minore
c=altezza
d=lato obliquo
a+b=c+d
da qui discende ke
a+b=90/2
c+d=90/2
20+d=45 quindi d=25
per il teorema di Pitagora
a-b=15
quindi
a+a-15=45 2a=60 a=30
b=15 (soluzione del 2° problema)
Secondo problema: un trapezio rettangolo è circoscritto ad un cerchio di raggio 10cm. Determinare le basi del trapezio sapendo che il perimetro di questo misura 90cm
Disegna il trapezio rettangolo, in modo che AB sia la base maggiore, DC la minore, BC il lato obliquo e DA l'altezza del trapezio, con l'angolo in A retto. Chiama H e K i punti di contatto del diametro HK del cerchio di centro O inscritto con rispettivamente DC e AB. Chiama MC l'altezza relativa alla base AB a partire da C.
Per ipotesi so:
- OH = 10
- P(ABCD) = 90
Da trovare sono le misure delle basi.
Pongo innanzitutto AB = x e DC = y
AD = 2HO = 20
Pongo BM = z
BC = sqrt(400 + z^2)
BC + DA = sqrt(400 + z^2) + 20
Sapendo che in un poligono circoscritto la somma dei lati opposti è congruente, allora trovo un'altra maniera di scrivere BC + DA:
BC + DA = P - DA - BC = 90 - 20 - sqrt(400 + z^2) = 70 - sqrt(400 + z^2)
Eguaglio i due valori trovati e ricavo z:
70 - sqrt(400 + z^2) = 20 + sqrt(400 + x^2)
- 2 sqrt(400 + z^2) = -50
Semplifico per - 2 e ottengo
sqrt(400 + z^2) = 25
Elevo tutto alla seconda
400 + z^2 = 625
z^2 = 225
z = 15 (solo il 15 poichè siamo in geometria e il -15 non può essere accettato in quanto un lato non può essere negativo)
Perciò BM = 15cm
CM = 20cm
CB = 25cm (terna pitagorica)
Ora so che, per il motivo precedente:
DC + AB = DA + BC
x + y = 20 + 25
x + y = 45
Ma, essendo CM = 15, deduco che
AB - DC = 15
Metto a sistema queste due equazioni:
x + y = 45
x - y = 15
Ricavo x dalla seconda:
x + y = 45
x = 15 + y
Risolvo per sostituzione
x = 15 + y
15 + y + y = 45
x = 15 + y
2y = 30
x = 15 + y
y = 15
x = 30
y = 15
Le basi misurano perciò 30cm e 15cm
Disegna il trapezio rettangolo, in modo che AB sia la base maggiore, DC la minore, BC il lato obliquo e DA l'altezza del trapezio, con l'angolo in A retto. Chiama H e K i punti di contatto del diametro HK del cerchio di centro O inscritto con rispettivamente DC e AB. Chiama MC l'altezza relativa alla base AB a partire da C.
Per ipotesi so:
- OH = 10
- P(ABCD) = 90
Da trovare sono le misure delle basi.
Pongo innanzitutto AB = x e DC = y
AD = 2HO = 20
Pongo BM = z
BC = sqrt(400 + z^2)
BC + DA = sqrt(400 + z^2) + 20
Sapendo che in un poligono circoscritto la somma dei lati opposti è congruente, allora trovo un'altra maniera di scrivere BC + DA:
BC + DA = P - DA - BC = 90 - 20 - sqrt(400 + z^2) = 70 - sqrt(400 + z^2)
Eguaglio i due valori trovati e ricavo z:
70 - sqrt(400 + z^2) = 20 + sqrt(400 + x^2)
- 2 sqrt(400 + z^2) = -50
Semplifico per - 2 e ottengo
sqrt(400 + z^2) = 25
Elevo tutto alla seconda
400 + z^2 = 625
z^2 = 225
z = 15 (solo il 15 poichè siamo in geometria e il -15 non può essere accettato in quanto un lato non può essere negativo)
Perciò BM = 15cm
CM = 20cm
CB = 25cm (terna pitagorica)
Ora so che, per il motivo precedente:
DC + AB = DA + BC
x + y = 20 + 25
x + y = 45
Ma, essendo CM = 15, deduco che
AB - DC = 15
Metto a sistema queste due equazioni:
x + y = 45
x - y = 15
Ricavo x dalla seconda:
x + y = 45
x = 15 + y
Risolvo per sostituzione
x = 15 + y
15 + y + y = 45
x = 15 + y
2y = 30
x = 15 + y
y = 15
x = 30
y = 15
Le basi misurano perciò 30cm e 15cm
Bravo vegeth, mi hai preceduto...;):lol!!!!
Anke tu 6 bravo. Come ti chiami?
:beer
:beer
Io sono Stefano, piacere di conoscerti ;)! E tu?
Chris, piacere mio!
ti va di chattare?
:lol
ti va di chattare?
:lol
come poxo risolvere questi 2 problemi di geometria?1=ho un rettangolo ke ha il perimetro di 808cm e l'altezza è tripla della base devo calcolare il perimetro di un rombo ke ha il lato congruente all'altezza del rettangolo risultato=1212cm
2=il perimetro di un trapezio isoscele è 280cm e ogni lato obliquo misura 45cm calcola il perimetro di un rombo ke ha il lato congruente alla metà della base maggiore del trapezio sapendo ke questa supera la minore di 30cm. risultato=220cm
2=il perimetro di un trapezio isoscele è 280cm e ogni lato obliquo misura 45cm calcola il perimetro di un rombo ke ha il lato congruente alla metà della base maggiore del trapezio sapendo ke questa supera la minore di 30cm. risultato=220cm
Allora...
AB=1/3CB
Il secondo...
AD=45cm
AB=DC+30cm
AB+DC=p-(AD+CB)
AB+DC=280cm-(90cm)=190cm
AB=1/3CB
[math]CB=\frac{\frac{p}{2}}{4}*3\\CB=\frac{404}{4}*3=303cm\\EF=CB=303cm\\p_(_E_F_G_H_)=4EF=303*4=1212cm[/math]
Il secondo...
AD=45cm
AB=DC+30cm
AB+DC=p-(AD+CB)
AB+DC=280cm-(90cm)=190cm
[math]DC=\frac{(AB+DC)-30}{2}=\frac{190-30}{2}=80cm\\AB=DC+30cm=80+30=110cm\\EF=\frac{AB}{2}=55cm\\p_(_E_F_G_H_)=4EF=4*55=220cm[/math]
Oddio chicca...cosa mi hai ritirato fuori...:lol
Aprite thread nuovi per chiedere aiuto ;)
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grazie
Ricordati di aprirne un altro la prossima volta ;)
ki mi saprebbe risolvere questo ke propio nn ci riesco?
l'area di un rombo e di 216cm è una è i 3/4 dell'altra calcolate l'area di un quadrato avente il lato uguale alla diagonale minore
l'area di un rombo e di 216cm è una è i 3/4 dell'altra calcolate l'area di un quadrato avente il lato uguale alla diagonale minore
Teshoro apri un'altra discussione!
ciao km va?
nuovo problema, nuovo topic. chiudo qua, per stavolta te lo apro io quello nuovo.
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