2 problemi di trigonometria, un aiuto per avere spunti per iniziare sulla giusta strada

[anna albini]

$ (10\sqrt(2))/PA $ciao a tutti, riuscireste a spiegarmi come dovrei iniziare e darmi una linea di ragionamento per questi 2 problemi? questo è il primo:

1)nel rettangolo ABCD è inscritto il triangolo ABP, col vertice P sul lato CD. le misure dei lati del rettangolo sono AB=a e AD=$(2-\sqrt(3)) \times a$ . determina l'angolo $D\hat AP$ sapendo che è valida la relazione $AP^2$ + $AD^2$ = $BP^2$

del secondo ho risolto la prima parte, e mi risultano i lati da calcolare uguali a AC= $5\times(\sqrt(6)-\sqrt(2))$ cm e CB= $10\times(\sqrt(3)-1)$ cm, però è la seconda parte e la parte che parla della funzione che proprio non mi riesce. :

2) del triangolo ABC sono noti i seguenti elementi: AB=10; $B\hat AC$=45°; $A\hat BC$=30°
determina i lati AC e CB. considera il punto P appartenente al lato AC e posto $P\hat BA$= x risolvi la seguente equazione: PA+PB= $5/3\times\sqrt(2)\times(3+\sqrt(3))$ . esprimi poi la funzione f(x)= $(10\sqrt(2))/(PA)$ e rappresentala su un periodo completo indipendentemente dal problema geometrico.
grazie in anticipo del vostro cordiale aiuto

[giammaria2]

Nel primo problema controlla il testo, che è assurdo. Infatti la relazione può essere scritta come $AP^2-BP^2=-AD^2$ e per il teorema di Pitagora il primo membro è uguale ad $AB^2$.

Nel secondo calcola $PA$ e $PB$ col teorema dei seni: conosci $AB=10, PhatAB=45°, AhatBP=x$ e quindi anche $AhatPB=180°-(45°+x)$

Il puntino del "per" si ottiene con l'asterisco.

[anna albini]

ho ricontrollato il testo e la relazione è proprio come l avevo scritta. ora comincio dal secondo secondo la tua indicazione
ps:mi piace tantissimo la nota di R.Powel!

[anna albini]

ma se faccio il teorema del seno e quindi lo imposto $(PA)/(senx)=(10)/(sen180°-(45°+x)$ = $(PB)/(sen45°)$, dopo i calcoli sono complicatissimi e non riesco neanche a semplificare... c'è qualche modo di scrivere sen180°- (45°+x) in un altro modo?

[@melia]

Così?
$sin[180-(45+x)] = sin (135-x) =sqrt2/2 cos x + sqrt2/2 sin x$

[chiaraotta1]

Nel triangolo rettangolo $ADP$ si ha che $AP=(AD)/cosx$.
Nel triangolo $APB$ l'angolo $BhatAP=90°-x$, il lato $AB=a$ e il lato $AP=(AD)/cosx$.
Dal teorema di Carnot si può calcolare che
$BP^2=AP^2+AB^2-2APABcos(90°-x)=$
$(AD^2)/(cos^2x)+a^2-2(AD)/cosx a sinx$.



Per cui
$AP^2+ AD^2= BP^2$
diventa
$(AD^2)/(cos^2x)+(2-sqrt(3))^2a^2=(AD^2)/(cos^2x)+a^2-2(AD)/cosx a sinx$,
con $0°<=x<=75°$,
e
$(2-sqrt(3))^2=1-2(2-sqrt(3))tan x->$
$2(2-sqrt(3))tanx=1-7+4sqrt(3)->$
$2(2-sqrt(3))tanx=2(-3+2sqrt(3))->$
$tanx=sqrt(3)->x=60°$.

[anna albini]

grazie mille! riusciresti a farmi vedere come si risolve anche il primo?

[chiaraotta1]

Applicando il teorema dei seni al triangolo $ABP$, puoi calcolare $PA$ e $PB$:
$(PA)/(senx)=(10)/(sen[180°-(45°+x)])->$
$PA=10 (senx)/(sen(45°+x))=$
$10 (senx)/(sen45°cosx+cos45°senx)=$
$ 10(senx)/(sqrt(2)/2cosx+sqrt(2)/2senx)=$
$10sqrt(2)(senx)/(cosx+senx)$;

$(PB)/(sen45°)=(10)/(sen[180°-(45°+x)])->$
$PB=sqrt(2)/2(10)/(sqrt(2)/2cosx+sqrt(2)/2senx)=(10)/(cosx+senx)$.

Allora la funzione è
$f(x)=(10sqrt(2))/(PA)=(10sqrt(2))/(10sqrt(2)(senx)/(cosx+senx))=$
$(cosx+senx)/(senx)=cot x +1$.

L'equazione invece è
$PA+PB=5/3 sqrt(2)(3+sqrt(3))->$
$10sqrt(2)(senx)/(cosx+senx)+(10)/(cosx+senx)=5/3 sqrt(2)(3+sqrt(3))->$
$6sqrt(2)senx+6= sqrt(6)(sqrt(3)+1)(cosx+senx)->$
$sqrt(6)sqrt(2)(senx)+sqrt(6)= (sqrt(3)+1)(cosx+senx)->$
$2sqrt(3)senx+sqrt(6)= (sqrt(3)+1)(cosx+senx)->$
$(sqrt(3)-1)senx-(sqrt(3)+1)cosx+sqrt(6)= 0$

[giammaria2]

Mi scuso: per qualche strano motivo, pur leggendo e rileggendo il testo, continuavo a capire che $P$ dovesse essere su $BC$. E' proprio vero che ci si affeziona agli errori.