2 Esercizi su funzioni
1) Data la funzione f(x) = arccotg 9x / 9x^2 - 1 determinare:
a. Il dominio di f(x)
b. I punti di discontinuità di f(x) e indicarne la specie
c. La derivata prima di f(x) nel punto x=0.
d. La derivata destra e sinistra nel punto x=1/3
e. Il dominio della derivata prima di f(x)
2) Data la funzione y= ax+1/x+b determinare:
a. Le costanti a e b in modo che il limite della funzione per x->0 sia uguale a infinito e in modo che il limite della funzione per x->infinito sia 2;
b.I punti in cui la tangente è perpendicolare alla retta x-4y-1=0
GRAZIE a tutti
a. Il dominio di f(x)
b. I punti di discontinuità di f(x) e indicarne la specie
c. La derivata prima di f(x) nel punto x=0.
d. La derivata destra e sinistra nel punto x=1/3
e. Il dominio della derivata prima di f(x)
2) Data la funzione y= ax+1/x+b determinare:
a. Le costanti a e b in modo che il limite della funzione per x->0 sia uguale a infinito e in modo che il limite della funzione per x->infinito sia 2;
b.I punti in cui la tangente è perpendicolare alla retta x-4y-1=0
GRAZIE a tutti
Risposte
a.Prima di tutto devi stabilire dove l'argomento dell'arccotg esiste: cioè
Poi l'arccotg è definita su tutto R, Quindi
b)
I possibili punti di discontinuità sono quindi
Il Denominatore della Frazione tente a 0 con il denominatore positivo, quindi la frazione tende a +infinito, con il meno del numeratore tende a -infinito, e quindi l'arccotg tende a Pigreco.. Non so se è chiaro?!
Quindi
Quindi
c)
Poichè la funzione è derivabile (in questo caso) in tutto il suo insieme di definizione (dominio), sarà derivabile sicuramente nel punto x=0:
Ps. odio il latex:.. Poichè la derivata è sempre positiva la funzione in ogni intervallo è crescente...
La derivata nel punto zero:
Poichè il limite sinistro e destro della derivata I nel punto x=1/3 esiste ed è uguale allora la funzione è derivabile nel punto x=1/3
Ora dovresti vedere se esiste o meno la derivata nel punto x=-1/3: Se fai i calcoli noti che la derivata sinistra e destra per x=-1/3 esiste ed è uguale =2 e quindi la funzione è derivabile anche per x=-1/3.
Quindi (come lo chiama lui, il dominio della derivata) la funzione è derivabile su tutto R..
P.s. Spero di non aver sbagliato :)
[math] 9x^2-1 \ne 0 [/math]
[math]x\ne -\frac{1}{3}, \frac{1}{3}[/math]
Poi l'arccotg è definita su tutto R, Quindi
[math]D(-\infty,-\frac{1}{3})\cup(-\frac{1}{3},\frac{1}{3})\cup(\frac{1}{3},+\infty)[/math]
b)
I possibili punti di discontinuità sono quindi
[math]x= -\frac{1}{3},\frac{1}{3}[/math]
[math]\lim_{x\rightarrow -\frac{1}{3}{^-}} f(x)= \pi[/math]
Il Denominatore della Frazione tente a 0 con il denominatore positivo, quindi la frazione tende a +infinito, con il meno del numeratore tende a -infinito, e quindi l'arccotg tende a Pigreco.. Non so se è chiaro?!
[math]\lim_{x\rightarrow -\frac{1}{3}{^+}} f(x)= 0[/math]
Quindi
[math]x= -\frac{1}{3}[/math]
è un punto di discontinuità di Prima Specie.[math]\lim_{x\rightarrow \frac{1}{3}{^-}} f(x)= \pi[/math]
[math]\lim_{x\rightarrow \frac{1}{3}{^+}} f(x)= 0[/math]
Quindi
[math]x= \frac{1}{3}[/math]
è un punto di discontinuità di Prima Specie.c)
Poichè la funzione è derivabile (in questo caso) in tutto il suo insieme di definizione (dominio), sarà derivabile sicuramente nel punto x=0:
[math]\forall x\in(-\infty,-\frac{1}{3})\cup(-\frac{1}{3},\frac{1}{3})\cup(\frac{1}{3},+\infty)[/math]
[math]\exists f^{'}(x)= -\frac{1}{1+\frac{({9x})^2}{({9x^2-1})^2}} \frac{9(9x^2-1)-9x(18x)}{({9x^2-1})^2} = [/math]
[math]-\frac{9(9x^2-1)-9x(18x)}{({9x^2-1})^2+({9x})^2}=\frac{81x^2+9}{({9x^2-1})^2+({9x})^2}[/math]
Ps. odio il latex:.. Poichè la derivata è sempre positiva la funzione in ogni intervallo è crescente...
La derivata nel punto zero:
[math] f^{'}(0)= \frac{0+9}{({0-1})^2+({0})^2}= 9 [/math]
[math]\lim_{x\rightarrow \frac{1}{3}{^-}} f^{'}(x)= 2 [/math]
[math]\lim_{x\rightarrow \frac{1}{3}{^+}} f^{'}(x)= 2 [/math]
Poichè il limite sinistro e destro della derivata I nel punto x=1/3 esiste ed è uguale allora la funzione è derivabile nel punto x=1/3
Ora dovresti vedere se esiste o meno la derivata nel punto x=-1/3: Se fai i calcoli noti che la derivata sinistra e destra per x=-1/3 esiste ed è uguale =2 e quindi la funzione è derivabile anche per x=-1/3.
Quindi (come lo chiama lui, il dominio della derivata) la funzione è derivabile su tutto R..
P.s. Spero di non aver sbagliato :)
Ci sono 2 grossi errori in quello che hai detto, adry:
1) la funzione arcotangente è definita così:
e quindi
2) La funzione non è derivabile in
Il fatto che le derivate destre e sinistre siano uguali ti dice solo che, nei punti considerati, l'andamento della funzione è tale per cui le tangenti assumono la stessa inclinazione.
Il grafico è riportato in figura.
1) la funzione arcotangente è definita così:
[math]\arctan: \mathbb{R}\ \longrightarrow\ \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)[/math]
e quindi
[math]\lim_{x\to\pm\infty}\arctan x=\pm\frac{\pi}{2}[/math]
2) La funzione non è derivabile in
[math]x=\pm\frac{1}{3}[/math]
. Infatti, dovrebbe essere noto che se una funzione è derivabile in un punto, allora essa è continua in tale punto. Se la funzione in questione fosse derivabile nel punto [math]x=1/3[/math]
, ad esempio, questo implicherebbe che in esso sia anche continua, ma hai dimostrato, giustamente, che in tale punto si presenta una discontinuità di prima specie. Tra l'altro, ti faccio presente che una funzione è derivabile solo nei punti interni agli intervalli su cui è definita, mentre i punti in questione sono punti estremali (o di frontiera) per tali intervalli.Il fatto che le derivate destre e sinistre siano uguali ti dice solo che, nei punti considerati, l'andamento della funzione è tale per cui le tangenti assumono la stessa inclinazione.
Il grafico è riportato in figura.
Allora non sono un professore quindi sbaglio:
Però è ArcoCotangente e Non ArcoTangente:
Poi Il Limite Sinistro Per x--> -1/3 esiste ed è finito Quindi la Funzione è Prulungabile ed è Possibile Cercare La derivata Sinistra nel Punto x=-1/3! Stessa cosa per x--> -1/3 da destra!
L'unico Dubbio è Che sia a sinistra che a destra per x-->-1/3 il limite della derivata mi viene uguale! e Quindi non so se è possibile dire che la derivata esiste o meno per quel Punto oppure Si deve semplicemente dire che la derivata per x--> -1/3 da sinistra esiste e vale 2 e per x--> -1/3 da destra esiste e vale anche due! Non so se mi sono spiegato!
Però è ArcoCotangente e Non ArcoTangente:
Poi Il Limite Sinistro Per x--> -1/3 esiste ed è finito Quindi la Funzione è Prulungabile ed è Possibile Cercare La derivata Sinistra nel Punto x=-1/3! Stessa cosa per x--> -1/3 da destra!
L'unico Dubbio è Che sia a sinistra che a destra per x-->-1/3 il limite della derivata mi viene uguale! e Quindi non so se è possibile dire che la derivata esiste o meno per quel Punto oppure Si deve semplicemente dire che la derivata per x--> -1/3 da sinistra esiste e vale 2 e per x--> -1/3 da destra esiste e vale anche due! Non so se mi sono spiegato!
Non è che ci abbia capito tantissimo... :S ma cmq grazie! ora rivedo meglio...
Li hai i risultati?.. Comunque cosa non hai capito?.. Dì cosa non ti è chiaro e vedo di spiegarlo meglio!
Aggiunto 36 minuti più tardi:
Ps. Non è vero che una funzione non è derivabile agli estremi! Considera la funzione
il limite per x-->0 da destra esiste ed è finito e quindi la funzione si può prolungare!
Mentre per x-->1 da sinistra la funzione tende a -infinito, da destra +infinito e quindi nel punto uno la funzione non è prolungabile!
Se adesso calcoli
E quindi la funzione prolungata è derivabile nel punto 0!
Aggiunto 36 minuti più tardi:
Ps. Non è vero che una funzione non è derivabile agli estremi! Considera la funzione
[math]f(x)= \frac{x}{lgx}[/math]
[math] D=(0,1)\cup(1,+\infty)[/math]
[math]\lim_{x\rightarrow 0^{+}} f(x)= 0[/math]
il limite per x-->0 da destra esiste ed è finito e quindi la funzione si può prolungare!
Mentre per x-->1 da sinistra la funzione tende a -infinito, da destra +infinito e quindi nel punto uno la funzione non è prolungabile!
Se adesso calcoli
[math]\lim_{x\rightarrow 0{^+}} \bar{f(x)}= \frac{\bar{f(x)}-\bar{f(0)}}{x}=0 [/math]
E quindi la funzione prolungata è derivabile nel punto 0!
# adry105 :
Allora non sono un professore quindi sbaglio:
Però è ArcoCotangente e Non ArcoTangente:
Poi Il Limite Sinistro Per x--> -1/3 esiste ed è finito Quindi la Funzione è Prulungabile ed è Possibile Cercare La derivata Sinistra nel Punto x=-1/3! Stessa cosa per x--> -1/3 da destra!
L'unico Dubbio è Che sia a sinistra che a destra per x-->-1/3 il limite della derivata mi viene uguale! e Quindi non so se è possibile dire che la derivata esiste o meno per quel Punto oppure Si deve semplicemente dire che la derivata per x--> -1/3 da sinistra esiste e vale 2 e per x--> -1/3 da destra esiste e vale anche due! Non so se mi sono spiegato!
Ops, avevo letto male! Sì, allora per l'arcocotangente il dominio è questo
[math][0,\pi)[/math]
Ma per quanto riguarda i limiti, la continuità e la derivabilità sbagli.
Il fatto che i limiti vengano finiti, da destra e sinistra dice, come affermi tu, che la funzione ha una discontinuità di prima specie. Ok, la funzione è prolungabile a destra e sinistra: ma questo vuol dire che è la funzione PROLUNGATA ad avere le derivate destre e sinistre. Adry, le definizioni di derivabilità sono chiare: sia x un punto INTERNO al dominio. Quelli che usi sono punti di frontiere degli intervalli, quindi non vanno bene. Non so se capisci, ma quello che affermi sulla derivabilità è totalmente sbagliato ed è come già ti ho spiegato. Dopodiché, vuoi essere convinto che ciò che dici è giusto? Va bene.
Se facessi l'esame di analisi 1 con me, io ti boccerei per una cosa del genere. :asd
E comunque, ti ripeto una cosa: una funzione, e la sua funzione prolungata, sono due cose diverse (considera che, in primis, hanno dominio diverso!)
La mia professoressa l'ha dimostrato così: Sia f definita in I e ha valori in R, e x_o appartenente ad I (cioè o x_o è interno o di frontiera!) e poi è andata avanti..
Quindi anche se un punto è un estremo può esistere o meno la derivata in quel punto della funzione..
L'unico mio dubbio in questa funzione è che: la funzione nel punto x=-1/3 non è continua, ma prolungabile sia a sinistra che a destra, e quindi si può cercare la derivabilità nel punto a sinistra e a destra:
e giusto giusto la derivata sinistra e destra nel punto sono uguali!
Quindi non so se dire che visto che per il punto la derivata sinistra e destra sono uguali allora la funzione e derivabile nel punto Oppure tenuto conto che la funzione non è continua nel punto dire Semplicemente che la derivata sinistra nel punto vale 2 e quella desstra vale anche 2 (lasciando il fatto che comunque nel punto in questione la funzione non è derivabile)!
Quindi anche se un punto è un estremo può esistere o meno la derivata in quel punto della funzione..
L'unico mio dubbio in questa funzione è che: la funzione nel punto x=-1/3 non è continua, ma prolungabile sia a sinistra che a destra, e quindi si può cercare la derivabilità nel punto a sinistra e a destra:
e giusto giusto la derivata sinistra e destra nel punto sono uguali!
Quindi non so se dire che visto che per il punto la derivata sinistra e destra sono uguali allora la funzione e derivabile nel punto Oppure tenuto conto che la funzione non è continua nel punto dire Semplicemente che la derivata sinistra nel punto vale 2 e quella desstra vale anche 2 (lasciando il fatto che comunque nel punto in questione la funzione non è derivabile)!
Allora adry:
una funzione è derivabile solo nei punti interni al dominio, la definizione di derivabilità negli estremi non esiste!
Inoltre, un noto teorema afferma che se f è derivabile allora f è continua (in un punto).
Questo implica che se f non è continua non può ASSOLUTAMENTE essere derivabile in tale punto.
Se osservi tu hai fatto una cosa, quando hai calcolato i valori delle derivate a destra e sinistra: non hai fatto il limite del rapporto incrementale (che per definizione è ciò che fornisce la derivata) ma il limite della funzione derivata. Fare questo non è sbagliato, ma concettualmente stai facendo questo ragionamento: pensi alla derivata come una funzione a sé stante, che non ha niente a che fare con la funzione di partenza.
Non so se ti è chiaro, ma questo ti fa concludere due cose diverse!
Quello che puoi dire quando in punto è presente una discontinuità di prima specie ed esistono i limiti destro e sinistro in quel punto per la funzione derivata è, semplicemente, che la funzione si avvicina a quel punto con un certo comportamento che è dettato dal comportamento della derivata stessa (che, tuttavia, in tale punto non esiste come valore, ma solo come limite!)
una funzione è derivabile solo nei punti interni al dominio, la definizione di derivabilità negli estremi non esiste!
Inoltre, un noto teorema afferma che se f è derivabile allora f è continua (in un punto).
Questo implica che se f non è continua non può ASSOLUTAMENTE essere derivabile in tale punto.
Se osservi tu hai fatto una cosa, quando hai calcolato i valori delle derivate a destra e sinistra: non hai fatto il limite del rapporto incrementale (che per definizione è ciò che fornisce la derivata) ma il limite della funzione derivata. Fare questo non è sbagliato, ma concettualmente stai facendo questo ragionamento: pensi alla derivata come una funzione a sé stante, che non ha niente a che fare con la funzione di partenza.
Non so se ti è chiaro, ma questo ti fa concludere due cose diverse!
Quello che puoi dire quando in punto è presente una discontinuità di prima specie ed esistono i limiti destro e sinistro in quel punto per la funzione derivata è, semplicemente, che la funzione si avvicina a quel punto con un certo comportamento che è dettato dal comportamento della derivata stessa (che, tuttavia, in tale punto non esiste come valore, ma solo come limite!)
Okkey allora la funzione non è derivabile nel punto!
Ma comunque noi abbiamo dimostrato un teorema che afferma che condizione sufficiente affinchè esiste la derivata in un punto è che
se esiste il limite della derivata prima in quel punto allora la funzione è derivabile ed ha lo stesso valore del limite della derivata.. se il limite della derivata non esiste allora non possiamo dire niente sul fatto che sia derivabile o meno!.. Se esiste il limite destro della derivata in un punto allora esiste la derivata destra in quel punto..!
Il fatto è che in questo caso mi sono venuti i limiti destro e sinisto della derivata in un punto uguali ( e in quel punto la funzione non è continua)..
Solitamente capitava che nel punto la funzione è continua e allora se poi il limite destro e sinistro del punto della derivata sono uguali e allora la funzione è derivabile nel punto, altrimenti non è derivabile, ma magari per il limite destro ammette retta tangente che ne so =D
Ma comunque noi abbiamo dimostrato un teorema che afferma che condizione sufficiente affinchè esiste la derivata in un punto è che
se esiste il limite della derivata prima in quel punto allora la funzione è derivabile ed ha lo stesso valore del limite della derivata.. se il limite della derivata non esiste allora non possiamo dire niente sul fatto che sia derivabile o meno!.. Se esiste il limite destro della derivata in un punto allora esiste la derivata destra in quel punto..!
Il fatto è che in questo caso mi sono venuti i limiti destro e sinisto della derivata in un punto uguali ( e in quel punto la funzione non è continua)..
Solitamente capitava che nel punto la funzione è continua e allora se poi il limite destro e sinistro del punto della derivata sono uguali e allora la funzione è derivabile nel punto, altrimenti non è derivabile, ma magari per il limite destro ammette retta tangente che ne so =D
Esatto, è proprio questo il punto.
La funzione non è continua, quindi sicuramente non è derivabile.
Quello che però puoi affermare, avendo trovato quei limiti per la funzione derivata, è che se la funzione potesse essere disegnata nei punti (attento, intendo proprio solo nei punti, non in un intorno di essi) allora avrebbe come tangenti delle rette di quel tipo. Vedi che nel tuo caso hai trovato che
per cui hai le due tangenti, a destra e sinistra
che sono due rette parallele.
La funzione non è continua, quindi sicuramente non è derivabile.
Quello che però puoi affermare, avendo trovato quei limiti per la funzione derivata, è che se la funzione potesse essere disegnata nei punti (attento, intendo proprio solo nei punti, non in un intorno di essi) allora avrebbe come tangenti delle rette di quel tipo. Vedi che nel tuo caso hai trovato che
[math]f(1/3^-)=\pi,\qquad f(1/3^+)=0,\qquad f'(1/3^-)=f'(1/3^+)=2[/math]
per cui hai le due tangenti, a destra e sinistra
[math]y-0=2(x-1/3)\ \Rightarrow\ y=2x-\frac{2}{3}[/math]
[math]y-\pi=2(x-1/3)\ \Rightarrow\ y=2x-\frac{2}{3}+\pi[/math]
che sono due rette parallele.
Sisi è giusto :D mi è sorto qulache dubbio (inutile) perchè giusto giusto il limite destro e sinistro delle derivate risultava uguale :D cmqqqqqq Okkey =D
Sono felice di poterti essere stato utile. Ogni volta che vuoi, chiedi: mi interessa molto vedere quali possono essere i possibili problemi e paradossi che le definizioni di analisi possono creare.
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