2 equazioni complesse

[miik91]

Non riesco a risolvere queste due equazioni:

[math]{z|z|-2z+i=0}[/math]

[math]{z^3=|z|^2}[/math]

qualcuno potrebbe aiutarmi???

[Newton_1372]

1). Per risolvere un'equazione del genere, conviene porre z=x+iy, con x e y reali, in modo da poterci calcolare separatamente le parti reali e immaginarie.

[math]z|z|-2z+i=0\\(x+iy)\sqrt{x^2+y^2}-2(x+iy)+i=0[/math]

Aggiunto 9 minuti più tardi:

isolando il termine con la radice e dividendo tutto per x+iy si ottiene

[math]\sqrt{x^2+y^2}=\frac{2(x+iy)-i}{x+iy}[/math]

che razionalizzato viene

[math]\sqrt{x^2+y^2}=\frac{(2x+2iy-i)(x-iy)}{x^2+y^2}[/math]

Eleviamo al quadrato entrambi i membri. Troviamo:

[math]x^2+y^2=\(\frac{2x^2-2xyi+2iyx+2y^2-ix-y}{x^2+y^2}\)^2[/math]

Aggiunto 3 minuti più tardi:

[math]x^2+y^2=\frac{(2x^2+2y^2-y-ix)^2}{(x^2+y^2)^2}[/math]

Aggiunto 2 minuti più tardi:

continuo dom sono stanco

[ciampax]

Newton.... ma che stai dicendo?

Allora, per risolvere la prima, poni

[math]z=x+iy[/math]

da cui

[math](x+iy)\sqrt{x^2+y^2}-2x-2iy+i=0[/math]

da cui eguagliando parte reale e parte immaginaria

[math]x\sqrt{x^2+y^2}-2x=0,\qquad y\sqrt{x^2+y^2}-2y+1=0[/math]

Dalla prima equazione ricavi

[math]x\left(\sqrt{x^2+y^2}-2\right)=0[/math]

da cui i due casi

[math]x=0,\qquad \sqrt{x^2+y^2}=2[/math]

Nel primo caso si ha, sostituendo nella seconda equazione

[math]y\sqrt{y^2}-2y+1=0\ \Rightarrow\ y|y|-2y+1=0[/math]

e quindi le due equazioni

[math]y^2-2y+1=0,\qquad -y^2-2y+1=0[/math]

che hanno soluzioni

[math]y=1[/math]

e

[math]y=-1\pm\sqrt{2}[/math]

.

Nel secondo caso, sempre sostituendo si trova

[math]2y-2y+1=0[/math]

che non ammette soluzioni. Le soluzioni dell'equazione sono pertanto i numeri

[math]z=i,\qquad z=(-1\pm\sqrt{2})i[/math]

La seconda equazione è molto più semplice: posto

[math]z=\rho e^{i\theta}[/math]

si ha

[math]\rho^3 e^{3i\theta}=\rho^2\ \Rightarrow\ \rho^2(\rho e^{3i\theta}-1)=0[/math]

da cui, o

[math]\rho=0[/math]

oppure

[math]e^{3i\theta}=\frac{1}{\rho}[/math]

che deve quindi essere un numero reale positivo. L'unica possibilità è che sia allora

[math]e^{3i\theta}=1[/math]

e quindi

[math]3\theta=2k\pi\qquad k=0,1,2[/math]

Le soluzioni sono allora

[math]z_0=e^{i0}=1,\\ z_1=e^{2i\pi/3}=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2},\\ z_2=e^{4i\pi/3}=-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}[/math]

[miik91]

ok ciampax grazie mille potresti solo indicarmi se c è un modo per risolvere la seconda senza la forma esponenziale? non l ho ancora studiata in classe e pur sapendo di cosa si tratta, l esercizio credo di doverlo risolvere senza. Potresti anche spiegarmi perchè nella prima quando sostituisci x=0 studi l equazione anche con i segni opposti? è perchè c è il modulo??

[ciampax]

La seconda, senza la forma esponenziale, porta a

[math]x^3+3ix^2 y-3xy^2-iy^3=x^2+y^2[/math]

da cui il sistema

[math]x^3-3xy^2=x^2+y^2,\qquad 3x^2 y-y^3=0[/math]

Dalla seconda hai

[math]y=0,\qquad y=\pm\sqrt{3}\ x[/math]

che sostituite nella prima ti danno le due equazioni

[math]x^3=x^2,\qquad x^3-9x^3=x^2+3x^2[/math]

La prima ha come soluzioni

[math]x=0,\ x=1[/math]

mentre la seconda diventa

[math]-8x^3=4x^2\ \Rightarrow\ x^2(2x+1)=0[/math]

le cui soluzioni sono

[math]x=0,\ x=\frac{1}{2}[/math]

.

In definitiva hai le soluzioni

[math]z=0,\quad z=1[/math]

e

[math]z=-\frac{1}{2}\pm i\frac{\sqrt{3}}{2}[/math]

Le altre due domande, si riconducono tutte e due a questo fatto: se

[math]y\in\mathbb{R}[/math]

allora

[math]\sqrt{y^2}=|y|[/math]

in quanto la radice potrebbe essere sia il numero con segno positivo che con segno negativo. Ecco il perché dei due segni.

[miik91]

ok grazie mille...già che c sono ne posto altre due che sto facendo in questo momento e che non mi riescono(in effetti sto trovando molta + difficoltà con i numeri complessi che con molti altri argomenti):

[math]\frac{|z|^2-(z+z(coniugato))}{3z}=1[/math]

[math]{4z^3+4z^2+i*sqrt{3}z=0[/math]

[ciampax]

Nota: per scrivere

[math]\bar{z}[/math]

devi scrivere \bar{z}

Detto questo, il primo diventa, posto

[math]z\neq 0[/math]

[math]|z|^2-z-\bar{z}=3z\ \Rightarrow |z|^2-4z-\bar{z}=0[/math]

da cui sostituendo

[math]x^2+y^2-4x-4iy-x+iy=0[/math]

e quindi il sistema

[math]x^2+y^2-5x=0,\qquad -3y=0[/math]

Quindi

[math]y=0[/math]

e

[math]x^2-5x=0[/math]

da cui

[math]x=0,\ x=5[/math]

. L'unica soluzione è allora

[math]z=5[/math]

.


Per il secondo, raccogliendo

[math]z[/math]

si ha

[math]z(4z^2+4z+i\sqrt{3})=0[/math]

Allora o

[math]z=0[/math]

oppure

[math]z^2+4z+i\sqrt{3}=0[/math]

Per risolvere quest'ultima, usa la formula di soluzione delle equazioni di sendo grado: calcola il discriminante

[math]4^2-4\cdot i\sqrt{3}=4(4-i\sqrt{3})[/math]

e quindi

[math]z_{1,2}=\frac{-4+2\sqrt{4-i\sqrt{3}}}{2}=-2+\sqrt{4-i\sqrt{3}}[/math]

Troviamo la radice quadrata: questo implica che cerchi un numero

[math]w=x+iy[/math]

tale che

[math]w^2=4-i\sqrt{3}\ \Rightarrow\ x^2-y^2+2ixy=4-i\sqrt{3}[/math]

e quindi

[math]x^2-y^2=4,\qquad 2xy=-\sqrt{3}[/math]

Dalla seconda hai

[math]y=-\frac{\sqrt{3}}{2x}[/math]

e quindi sostituendo

[math]x^2-\frac{3}{4x^2}=4\ \Rightarrow\ 4x^4-16x^2-3=0[/math]

Posto

[math]t=x^2[/math]

hai l'equazione

[math]4t^2-16t-3=0[/math]

le cui radici sono

[math]t_1=-2,\ t_2=6[/math]

. La prima soluzione non è accettabile (t deve essere positivo) mentre dalla seconda ricavi

[math]x^2=6\ \Rightarrow\ x=\pm\sqrt{6}[/math]

e quindi

[math]y=\mp\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{6}}=\mp\frac{1}{2\sqrt{2}}=\mp\frac{\sqrt{2}}{4}[/math]

.

Infine

[math]w=\pm\sqrt{6}\mp i\frac{\sqrt{2}}{4}[/math]

e quindi le soluzioni dell'equazione orginale

[math]z_{1,2}=-2\pm\sqrt{6}\mp i\frac{\sqrt{2}}{4}[/math]

[miik91]

Non so davvero come ringraziaroti!!! mi stai aiutando davvero un sacco se l esame di analisi andrà bene e se mi è venuta un gran passione per la matematica è anche merito tu. Sei un genio!! grazie mille davvero.

[ciampax]

Non sono un genio... sono un docente di matematica all'Università! :asd

[miik91]

ah ecco :D, beh sei cmq una grande mente. Grazie ancora