$(1+p)^n>=1+np$

[pippo931]

salve,
qualcuno mi potrebbe spiegare perchè $(1+p)^n>=1+np$ Viene dimostrato nel courant e robbins per induzione ma non l'ho capito molto bene (se capite l'inglese trovate la dimostrazione a pagina 15 di questo e-book http://books.google.it/books?id=_kYBqLc5QoQC&printsec=frontcover&dq=what+is+mathematics+courant+robbins&sig=k7DQzxSHVRMP02ZCYTU-NrhuB8E)

grazie mille dell'attenzione

EDIT:mi sono dimenticato di porre p>-1 e n>0

[_luca.barletta]

Per n=1 vale l'uguaglianza.
Supponi sia vero per $n$: $(1+p)^n>1+np$.
Allora per $n+1$ hai che
$(1+p)^(n+1)=(1+p)^n(1+p)>(1+np)(1+p)$ l'ultima disuguaglianza per l'ipotesi fatta;
sviluppando il prodotto:
$(1+np)(1+p)=1+p+np+np^2=1+(n+1)p+np^2>1+(n+1)p$
cioè vale $(1+p)^(n+1)>1+(n+1)p$.
Fine.

[elios2]

Cosa non è chiaro? Forse il perché non considera $rp^2$?

[pippo931]

"elios":Cosa non è chiaro? Forse il perché non considera $rp^2$?

proprio per quello,

[nato_pigro1]

"pippo93":[quote="elios"]Cosa non è chiaro? Forse il perché non considera $rp^2$?

proprio per quello,[/quote]

perchè $np^2$ è sicuramente positivo

[elios2]

"luca.barletta":Per n=1 vale l'uguaglianza.
Supponi sia vero per $n$: $(1+p)^n>1+np$.
Allora per $n+1$ hai che
$(1+p)^(n+1)=(1+p)^n(1+p)>(1+np)(1+p)$ l'ultima disuguaglianza per l'ipotesi fatta;
sviluppando il prodotto:
$(1+np)(1+p)=1+p+np+np^2=1+(n+1)p+np^2>1+(n+1)p$
cioè vale $(1+p)^(n+1)>1+(n+1)p$.
Fine.

Come ha scritto Luca, se $1+(n+1)p+np^2>1+(n+1)p$ (poiché $np^2$ è un numero positivo), e se $(1+p)^(n+1)>1+(n+1)p+np^2$ (che si ottiene semplicemente facendo i calcoli), ALLORA, per la proprietà transitiva dell'"essere maggiore", $(1+p)^(n+1)>1+(n+1)p$.
[Si può usare questo trucco perché devi dimostrare una diseguaglianza e non un'uguaglianza. In questo caso, quindi ti puoi permettere di non considerare l'addendo $np^2$ poiché la sua non presenza non cambia le sorti della disuguaglianza]

[pippo931]

ah, ok
mi sembra di aver capito i, in pratica è possibile non considerare $np^2$ perchè togliendolo la disuguaglianza rimane o se si tratta di un uguaglianza si trasforma in diseguaglianza, giusto?

grazie a tutti

[G.D.5]

Io senza fare troppi giri di parole proporrei una giustificazione formale: $np^2 >= 0$ da cui sommando membro a membro la medesima quantità $1+(n+1)p$ si ottiene
$1+(n+1)p$$+np^2 >= $$1+(n+1)p$.

[pippo931]

"WiZaRd":Io senza fare troppi giri di parole proporrei una giustificazione formale: $np^2 >= 0$ da cui sommando membro a membro la medesima quantità $1+(n+1)p$ si ottiene
$1+(n+1)p$$+np^2 >= $$1+(n+1)p$.

ah, certo!

quindi, ricapitolando, noi da $(1+p)^n >=1+np$ abbiamo $(1+p)^n * (1+p) >=1+np+p+np^2$ perchè lo vogliamo dimostrare con l'induzione e poi $(1+p)^n * (1+p) >=1+np+p+np^2 >= 1+(n+1)p$ perchè $np^2>=0$, ecco a cosa si riferiva Elios parlando della proprietà transitiva.

Giusto?