1- Verificare che ,

[giusyheart]

se a + b + y = π/2 , si ha tg a tg b + tg b tg y + tg y tg a = 1
suggerimento ( tg y = cotg (a + b) = 1 - tga tgb / tg a + tgb .....)


2- Identità
sen^6 a + cos^6 a = 1 - 3/4 sen² 2a

[BIT5]

Hai un suggerimento che solo sostituendo ti risolve tutto.....

sostituiamo a tutti i tangente di y il controvalore del suggerimento:

[math] \tan a \tan b + \tan b \cdot \frac{1- \tan a \tan b}{\tan a + \tan b} + \tan a \cdot \frac{1- \tan a \tan b}{\tan a + \tan b} [/math]

Eseguiamo le moltiplicazioni

[math] \tan a \tan b + \frac{ \tan b- \tan a \tan^2 b}{\tan a + \tan b} + \frac{\tan a - \tan^2 a \tan b}{\tan a + \tan b} [/math]

Minimo comune multiplo

[math] \frac{ ( \tan a + \tan b )(\tan a \tan b) + \tan b- \tan a \tan^2 b + \tan a - \tan^2 a \tan b}{\tan a + \tan b} [/math]

moltiplichiamo

[math] \frac{ \tan^2 a \tan b + \tan a \tan^2 b + \tan b- \tan a \tan^2 b + \tan a - \tan^2 a \tan b}{\tan a + \tan b} [/math]

da cui

[math] \frac{ \no {\tan^2 a \tan b} + \tan a \tan^2 b + \tan b- \tan a \tan^2 b + \tan a - \no{ \tan^2 a \tan b}}{\tan a + \tan b} [/math]

e

[math] \frac{ \no{ \tan a \tan^2 b} + \tan b- \no{\tan a \tan^2 b }+ \tan a }{\tan a + \tan b} [/math]

rimane

[math] \frac{\tan a + \tan b}{\tan a + \tan b} [/math]

che e', ovviamente, uguale a 1 (numeratore e denominatore sono identici...)

Spero che tu ci avessi almeno provato, visto che con il suggerimento erano semplici moltiplicazioni e minimo comune multiplo...

Aggiunto 18 minuti più tardi:

2) riscriviamo

[math] \( \sin^2 a \)^3 + \( \cos^2 a)^3 [/math]

ricordando che

[math] x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2) [/math]

avremo

[math] (\sin^2 a + \cos^2 a)( \sin^4 a - \sin^2 a \cos^2 a + \cos^4 a) [/math]

ricordando il prinicipio fondamentale della trigonometria

[math] \sin^2 a + \cos^2 a = 1 [/math]

avremo

[math] \sin^4 a - \sin^2 x \cos^2 x + \cos^4 a [/math]

Ora puoi procedere in piu' modi.

Il primo e' piu' intuitivo. Si tratta di applicare ripetutamente il principio fondamentale della trigonometria (ovvero cos^2 x = 1 - sen^2 x)

quindi

[math] \cos^4 a = \( \cos^2 a \)^2 = (1- \sin^2 a)^2 = 1 + \sin^4 a -2 \sin^2 a [/math]

otterrai

[math] \sin^4 a - \sin^2 a (1- \sin^2 a) + 1 + \sin^4 a -2 \sin^2 a = \\ \\ \\ \\

\sin^4 a - \sin^2 a + \sin^4 a + 1 + \sin^4 a - 2 \sin^2 a = \\ \\ \\ 3 \sin^4 a -3 \sin^2 a +1 [/math]

considera ora solo

[math] 3 \sin^4 a -3 \sin^2 a [/math]

raccogli a fattore comune -3sen^2

[math] -3 \sin^2 a ( 1 - \sin^2 a ) [/math]

sempre per la regola fondamentale

[math] -3 \sin^2 a \cos^2 a [/math]

moltiplica per 4/4 (ovvero per 1 ;) )

[math] -3 \cdot \frac44 \cdot \sin^2 a \cos^ 2 a = \\ \\ \\ - \frac34 \cdot (2 \sin a \cos a)^2 = - \frac34 \( \sin 2a \)^2 [/math]

e quindi, ricordando l'1 che abbiamo tralasciato sopra

[math] 1- \frac34 \sin^2 2a [/math]

il secondo metodo:

[math] \sin^4 a - \sin^2 a \cos^2 a + \cos^4 a [/math]

aggiungiamo e togliamo 3 sin^2 a cos^2 a otteniamo

[math] \sin^4 a - \sin^2 a \cos^2 a + \cos^4 a + 3 \sin^2 a \cos^2 a - 3 \sin^2 a \cos^2 a [/math]

quindi

[math] \sin^4 a +2 \sin^2 a \cos^2 a + \cos^4 a - 3 \sin^2 a \cos^2 a [/math]

riconosciamo nei primi 3, il quadrato del binomio

[math] \(\sin^2 a + \cos^2 a)^2 - 3 \sin^2 a \cos^2 a [/math]

ma siccome sen^2 a + cos^2 a = 1 rimane

[math] 1 -3 \sin^2 a \cos^2 a [/math]

a questo punto concludi come sopra :)