Teorema di pitagora: dimostrazione di garfield
allora garfield ha dimostrato che trovando l'area di questo trapezio in due maniere diverse e poi semplificando le due espressioni, viene fuori il teorema di pitagora.
metodo 1: trovare l'area della figura come se fosse un trapezio normale, quindi 1/2 della somma delle basi più l'altezza =
$1/2(a+b)*(a+b)$
metodo 2: trovare l'area della figura sommando le aree dei triangoli che la compongono, quindi:
2 triangoli piccoli = $2*(1/2a*b)$ + il triangolo grande $1/2(c^2)$
continuando i calcoli si arriva all'equivalenza delle due espressioni in
$a^2+2ab+b^2=2ab+c^2$
a questo punto si sottrae 2ab da entrambe le espressioni e rimane il teorema di pitagora.
domanda: nella figura, se dalla seconda espressione elimino il 2ab, in pratica sto eliminando l'area dei due triangoli piccoli, quindi ha senso. ma nella prima espressione, eliminando quel 2ab, in pratica dalla figura, che cosa sto eliminando??
Risposte
"mariof":
continuando i calcoli si arriva all'equivalenza delle due espressioni in
$a^2+2ab+b^2=2ab+c^2$
a questo punto si sottrae 2ab da entrambe le espressioni e rimane il teorema di pitagora.
domanda: nella figura, se dalla seconda espressione elimino il 2ab, in pratica sto eliminando l'area dei due triangoli piccoli, quindi ha senso. ma nella prima espressione, eliminando quel 2ab, in pratica dalla figura, che cosa sto eliminando??
Nell'equazione che hai scritto però non hai messo l'area del trapezio, ma il suo doppio, am I wrong?
non mi pare ma gli esperti siete voi.
area del trapezio = $1/2(a+b)*(a+b)$
il primo a+b sono le basi, il secondo a+b è l'altezza. quindi $1/2(a+b)^2$, ovvero $1/2(a^2+2ab+b^2)$
(quell'1/2 l'ho levato moltiplicando entrambe le espressioni per 2 dato che c'era 1/2 anche nell'altra espressione).
area del trapezio = $1/2(a+b)*(a+b)$
il primo a+b sono le basi, il secondo a+b è l'altezza. quindi $1/2(a+b)^2$, ovvero $1/2(a^2+2ab+b^2)$
(quell'1/2 l'ho levato moltiplicando entrambe le espressioni per 2 dato che c'era 1/2 anche nell'altra espressione).
"mariof":
non mi pare ma gli esperti siete voi.
area del trapezio = $1/2(a+b)*(a+b)$
il primo a+b sono le basi, il secondo a+b è l'altezza. quindi $1/2(a+b)^2$, ovvero $1/2(a^2+2ab+b^2)$
(quell'1/2 l'ho levato moltiplicando entrambe le espressioni per 2 dato che c'era 1/2 anche nell'altra espressione).
quindi hai due volte l'area del trapezio, cioè 4 triangoli rettangoli di cateti $a$ e $b$, e due triangoli rettangoli isosceli di cateto $c$ (nel tuo disegno scrivi che $c$ è il lato obliquo del tuo trapezio rettangolo, ma secondo me sbagli, quel lato dovrebbe essre la diagonale del quadrato di lato $c$). Due triangoli rettangoli isosceli di cateto $c$ uniti insieme lungo la loro ipotenusa (lunga $sqrt2 c$) formano il quadrato di lato $c$.
"gio73":
[quote="mariof"]non mi pare ma gli esperti siete voi.
area del trapezio = $1/2(a+b)*(a+b)$
il primo a+b sono le basi, il secondo a+b è l'altezza. quindi $1/2(a+b)^2$, ovvero $1/2(a^2+2ab+b^2)$
(quell'1/2 l'ho levato moltiplicando entrambe le espressioni per 2 dato che c'era 1/2 anche nell'altra espressione).
quindi hai due volte l'area del trapezio, cioè 4 triangoli rettangoli di cateti $a$ e $b$, e due triangoli rettangoli isosceli di cateto $c$ (nel tuo disegno scrivi che $c$ è il lato obliquo del tuo trapezio rettangolo, ma secondo me sbagli, quel lato dovrebbe essre la diagonale del quadrato di lato $c$). Due triangoli rettangoli isosceli di cateto $c$ uniti insieme lungo la loro ipotenusa (lunga $sqrt2 c$) formano il quadrato di lato $c$.[/quote]
hai ragione ho sbagliato, c è l'ipotenusa del triangolo in basso, quindi la base del quadrato c^2, non la sua diagonale.
ma a parte questo, in pratica con quel -2ab cosa tolgo dalla figura del trapezio?
Dal doppio del trapezio togli 2 rettengoli di dimensioni $a$ e $b$, cioè 4 triangoli rettangoli di cateti $a$ e $b$, nel trapezio sono solo 2, ma tu l'hai raddoppiato quindi ne hai 4.
in pratica con quel 2ab ho eliminato i poligoni 1, 2, 3 e 4 giusto?
ildisegno non mi piace per niente
per raddoppiare il trapezio disegnane uno congruente a quello dato, che abbia in comune il lato obliquo e il prolungamento della base minore sia lungo quanto la base maggiore e viceversa.
per raddoppiare il trapezio disegnane uno congruente a quello dato, che abbia in comune il lato obliquo e il prolungamento della base minore sia lungo quanto la base maggiore e viceversa.
Cosa state dicendo? Sta bene.
Area trapezio $A_1=1/2(a+b)(a+b)$
Area triangoli piccoli uguali $A_2=2(ab)/2$
Area triangolo $A_3=c^2/2$
Quindi $A_1=A_2+A_3$ cioè $(a^2+2ab+b^2)/2=2(ab)/2+c^2/2$ da cui $a^2+2ab+b^2=2ab+c^2$ semplificando ottengo il Teorema di Pitagora $a^2+b^2=c^2$.
In realtà il l'ipotenusa $c$ non è quella ma è l'ipotenusa dei due triangoli uguali.
Area trapezio $A_1=1/2(a+b)(a+b)$
Area triangoli piccoli uguali $A_2=2(ab)/2$
Area triangolo $A_3=c^2/2$
Quindi $A_1=A_2+A_3$ cioè $(a^2+2ab+b^2)/2=2(ab)/2+c^2/2$ da cui $a^2+2ab+b^2=2ab+c^2$ semplificando ottengo il Teorema di Pitagora $a^2+b^2=c^2$.
In realtà il l'ipotenusa $c$ non è quella ma è l'ipotenusa dei due triangoli uguali.
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