Somma di cateti

[Stellinelm]

Ho notato che se $a,b,c$ è una terna pitagorica .
il quadrato costruito sul cateto minore $a$ è , ovviamente uguale alla differenza tra l'area del ipotenusa e l'area del cateto maggiore , ossia $a^2 = c^2-b^2$ però perchè tale differenza è uguale alla somma dei due cateti , ossia perchè
$c^2-b^2= a+b$

C'è una risposta elementare , semplice semplice ?

[jpg]

Una risposta elementare è che... non lo è.
Non sono sicuro di capire la domanda, da dove hai tirato fuori quest'equazione?

[Stellinelm]

Ho preso la terna pitagorica $3,4,5$
$3^2= 5^2-4^2$ ma è si ha anche $3^2=4+5$
per cui $5^2-4^2=4+5$
ciò avviene in ogni terna pitagorica

[superpippone]

Ne ho presa una a caso: $40,42,58$.
Non succede mica quello che dici tu.

[Stellinelm]

Non ho verificato bene , ma credo che in quella che hai preso tu non si verifica perchè non è una terna primitiva
il $M.C.D.(40,42,58)!=1$ , credo che si verifichi per le terne pitagoriche primitive in cui il cateto minore è dispari
e la differenza tra ipotenusa e cateto maggiore è $1$ , ma (come dice tiziano ferro)
"non me lo so spiegare io " .
$3,4,5$
$5,12,13$
$7,24,25$
$9,40,41$
$11,60,61$
$13,84,85$
$15,112,113$
$17,144,145$
$19,180,181$
$21,220,221$
$23,264,265$

[Zero87]

"Stellinelm":credo che si verifichi per le terne pitagoriche primitive in cui il cateto minore è dispari
e la differenza tra ipotenusa e cateto maggiore è $1$ , ma (come dice tiziano ferro)
"non me lo so spiegare io " .

Prodotto notevole .

$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$, se $a-b=1$ allora $(a^2-b^2)=a+b$.

Tenete sempre viva la curiosità, o menti matematiche!

[jpg]

"Stellinelm":Ho notato che se $a,b,c$ è una terna pitagorica .
il quadrato costruito sul cateto minore $a$ è , ovviamente uguale alla differenza tra l'area del ipotenusa e l'area del cateto maggiore , ossia $a^2 = c^2-b^2$ però perchè tale differenza è uguale alla somma dei due cateti , ossia perchè
$c^2-b^2= a+b$

Forse $c^2-b^2= b+c$ allora, con $a

Cita

Segnala

[Zero87]

"Stellinelm":per cui $5^2-4^2=4+5$

@JPG
Stranamente una volta tanto avevo detto una cosa giusta!

(Cioè del fatto che vale $a^2-b^2=a+b$ quando $a-b=1$)

[Stellinelm]

"JPG":[quote="Stellinelm"]Ho notato che se $a,b,c$ è una terna pitagorica .
il quadrato costruito sul cateto minore $a$ è , ovviamente uguale alla differenza tra l'area del ipotenusa e l'area del cateto maggiore , ossia $a^2 = c^2-b^2$ però perchè tale differenza è uguale alla somma dei due cateti , ossia perchè
$c^2-b^2= a+b$

Forse $c^2-b^2= b+c$ allora, con $a
Si Jpg , ho sbagliato ha scrivere ma è come dici te

ma perchè ?

p.s. : Zero87 ti piace beautiful mind eh ?!

[Zero87]

"Stellinelm":p.s. : Zero87 ti piace beautiful mind eh ?!

Non l'ho mai visto, a dire il vero anche se me l'hanno consigliato in molti.

[Stellinelm]

"Zero87":Tenete sempre viva la curiosità, o menti matematiche!

Te lo chiesto perchè con una frase simile si accoglievano gli allievi all'inizio dell'anno accademico , ma può anche essere che mi confonda con qualche altro film ;
anzi , non sarei merevigliata affatto , se confondessi

[jpg]

Avide giovani menti!
Comunque sì, mea culpa, avrei dovuto arrivarci che si trattava di un semplice errore in buona fede

[Stellinelm]

"JPG":Avide giovani menti!
Comunque sì, mea culpa, avrei dovuto arrivarci che si trattava di un semplice errore in buona fede

ma quale mea culpa
Quando ho scritto ero un"arida giovane mente"

Ma come te lo spieghi ? coincidenza ?

[jpg]

La spiegazione del prodotto notevole mi pare più che valida (più che altro perché essendo una prova matematica è... difficilmente confutabile? ), benché rappresenti un caso particolare della tua ipotesi. Ma bisogna vedere se la tua ipotesi regge anche casi diversi $c = b+1$.

[Stellinelm]

vuoi dire questa di Zero87

$c^2-b^2=(c+b)(c-b)$, se $c-b=1$ allora $(c^2-b^2)=c+b$ ?

p.s. : Non credo che rega negli altri casi .

[jpg]

È interessante come le terne pitagoriche più "conosciute" dal grande pubblico condividano tutte questa curiosa proprietà!
Comunque, alla prima terna che abbia trovato per cui $c-b!=1$, sono incappato subito in un controesempio: (20,21,29)
$b=21, c=29$
$29^2-21^2=20^2=400$
$21+29!=400$
Quindi $c^2-b^2!=c+b$.

[Stellinelm]

Chissà quante altre proprieta avranno altre tipi di terne , come ad esempio due terne che condividono uno stesso cateto minore ... bisogna indagare .