Quadrilatero rettangolo e circonferenza

[golia833]

Problema quadrilatero
Esercizio 301

[Studente Anonimo]

Ciao,
Calcoliamo l'area del quadrato unitario:
a=18:2=9
calcoliamo il lato unitario:
l=√a=√9=3
calcoliamo le dimensioni del rettangolo:
b=3×2=6 cm
h=3×1=3 cm

consideriamo il semicerchio di diametro AD.
calcoliamo il perimetro:
P1=πd/2=6π/2=3π cm
calcoliamo l'area:
A1=πd²/8=6²π/8=36π/8=9/2π cm²

consideriamo il quadrato ABEF.
calcoliamo l'area del quadrato:
Aq=Arettangolo/2=18/2= 9 cm²

consideriamo il quadrante circolare ABE
calcoliamo il perimetro del quadrante circolare:
Pqc=πr/2=3π/2 cm
calcoliamo l'area del quadrante circolare:
Aqc=πr²/4=3²π/4=9/4π cm²

consideriamo ABE
calcoliamo perimetro :
P2=Pqc=3/2π cm
calcoliamo l'area:
A2= Aq-Aqc=9-9/4π cm²

Consideriamo la figura colorata:
Calcoliamo il perimetro:
P=P1+2P2=3π+2•(3/2π)=3π+3π=6π cm
calcoliamo l'area:
A=A1+2A2=9/2π+2(9-9/4π)=9/2π+18-9/2π=18 cm²

Spero di essere stato chiaro.
Se hai bisogno chiedi pure.
Saluti.

[golia833]

Ciò che mi meraviglia è che l'insegnante non ha ancora spiegato il quadrante circolare, né tantomeno le formule relative ad esso. Quindi non so come pensa che un alunno possa eseguirlo. Grazie mille per l'aiuto.

[Studente Anonimo]

Ciao,
può essere che non si sia accorta dell'esercizio e l'abbia assegnato involontariamente.
non credo ci siano altro risoluzioni.

comunque il quadrante circolare non è altro che 1/4 del cerchio.

a presto :-)

[danyper]

Salve a tutti
Io proporrei questa soluzione alternativa.
Dato che la prof non ha spiegato il quadrante allora il problema va fatto utilizzando la composizione e scomposizione delle figure piane.
Vediamo.

Il rettangolo ABCD, ha area 18 cm^2 e dimensioni una doppia dell'altra, e fin qui ci siamo.

[math]Ab=EF=CD=3cm[/math]

[math]AD=BC= 6cm[/math]

Osserviamo ora che AD è il diametro della semicirconferenza in rosa, quindi il raggio di questa è 3cm.
La sua area misura:

[math]\frac{\pi r^2}{2}=\frac {\pi 9}{2}cm^2[/math]

Torniamo nel rettangolo ABCD.
Le due aree in verde sono due quarti di circonferenza, cioè un'altra semicirconferenza che ha la stessa area di quella esterna.
Questo significa che possiamo determinare l'area in rosa interna AEDF come differenza tra Area del rettangolo e Area in verde:

[math]AEDF= 18 cm^2-\frac {\pi 9}{2}cm^2[/math]

Sommiamo ora le due parti per avere l'area totale:

Area totale: AEDF + semicirconferenza esterna

Area totale=

[math]18cm^2-\frac {\pi 9}{2}cm^2+\frac {\pi 9}{2}cm^2 =18 cm^2[/math]

Magari in classe chiederanno alla prof per avere conferma.

A presto !!

[Matlurker]

golia833 :Ciò che mi meraviglia è che l'insegnante non ha ancora spiegato il quadrante circolare, né tantomeno le formule relative ad esso

Non sono convinto che sia l'impostazione giusta per risolvere il problema. A mio avviso sembra più un esercizio pedagogico di scomposizione di figure. Se si mappa la figura in 4 quadrati (come effettivamente mi sembra abbia fatto l'alunno con un tratto di penna blu), il problema si risolve senza ricorrere a calcoli matematici, semplicemente sommando e sottraendo aree. Solo per la prima domanda è necessario sapere che la circonferenza è pari a 2 volte il raggio per pi greco.

Personalmente avrei invertito le domande. Si arriva prima a constatare che l'area dei settori è pari all'area di 2 quadrati. Poi, calcolati i lati del rettangolo,e dunque il raggio, si trova la circonferenza.

Per i ragazzi che non riuscissero a "vedere", consiglierei di disegnare la figura in un quaderno a quadretti, ritagliare le figure colorate e ricomporle; dapprima per fare vedere la circonferenza, e poi per vedere il rettangolo composto dalle parti in rosa.

Questo tipo di esercizi sono, nelle intenzioni degli autori almeno, di incentivo affinché lo studente si soffermi al ragionamento piuttosto che al calcolo. L'indizio più forte, genericamente parlando, è proprio il fatto che se un insegnante non ha spiegato un determinato procedimento, molto probabilmente la soluzione ha una via più semplice.