Prova Scritta Matematica

[Noctis Lucis Caelum]

Ciao, in classe abbiamo comprato, circa a inizio anno, un libro che contiene esercizi sulla prova INVALSI di Matematica e alcuni sulla prova scritta. Di quest'ultima prova ho scelto 4 esercizi che mi sono poco chiari e vorrei che qualcuno mi spiegasse come svolgerli.

1.

In un trapezio rettangolo il perimetro è di 36 cm, l'altezza è congruente alla base minore, la base maggiore supera il lato obliquo di 4 cm e il doppio dell'altezza supera di 2 cm il lato obliquo. Questo trapezio viene fatto ruotare di 360° attorno alla base maggiore.
•Descrivi il solido generato dalla rotazione.
•Calcola l'area della superficie e il volume di questo solido.

R=

[math]168\pi cm^2;\;312\pi cm^3[/math]

2.

Traduci in equazione il testo del seguente problema e risolvilo.

"Un numero è tale che dividendolo per 15 dà 4 come quoziente e 10 come resto. Qual è questo numero?" x=70

3.

In un triangolo i tre angoli

[math]\alpha,\beta\; e \; \gamma[/math]

sono tali che:

[math]\alpha = \frac{1}{3} \beta \qquad \gamma = \frac{\alpha+\beta}{2}[/math]

.
• Calcola l'ampiezza dei tre angoli.
• Disegna il triangolo e, sapendo che il lato minore misura 15 cm, calcolane perimetro e area (approssima per eccesso all'unità).

[30°, 60°, 90°; 71 cm; 195 cm^2]
In questo ho usato il Teorema dei Seni e mi è venuto ma siccome sono in terza media non credo si faccia così :P

4.

Descrivi le principali caratteristiche dell'aria e, ricordando che la sua composizione è 78% azoto, 21% ossigeno, 0.03% anidride carbonica e 0.97% altri gas, disegnane l'aerogramma(Potete sorvolare qui). Calcola quindi:
• quanto ossigeno è presente in una stanza le cui dimensioni sono 4 m, 5 m e 2 m;
• il peso dell'ossigeno presente in questa stanza sapendo che 1 dm^3 di ossigeno pesa 1,4 g;
• il volume e il peso dell'aria contenuta in un salone le cui dimensioni sono 7 m, 6 m e 3 m sapendo che 1 m^3 di aria pesa 1,293 kg.
[8,4 m^3; 11,76 kg; 126 m^3; 162,918 kg]

Per favore aiutatemi a capire come farli (il più importante è il primo, poi viene il terzo). Grazie mille in anticipo!

EDIT: Aggiunto il quoziente. P.S. Grazie romano!

[romano90]

Hai aperto una discussione al posto di una domanda... io non posso cambiarlo quindi bisogna aspettare un collaboratore/tutor...



Intanto il 3°

Ti manca una condizione, che è espressa implicitamente nel problema.

Ovvero che la somma degli angoli interni di un triangolo da 180°. Quindi:

li chiamo a b e c per comodità...

[math]\begin{cases} a = \frac{1}{3}b \\ c = \frac{a+b}{2} \\ a+b+c= 180 \end{cases} \\ \begin{cases} c = \frac{\frac{1}{3}b+b}{2} \\ a = \frac{1}{3}b \\ a+b+c= 180 \end{cases} \\ \begin{cases} c = \frac{\no4^2}{\no6^3}b \\ a=\frac{1}{3}b \\ a+b+c= 180 \end{cases} [/math]

Sostituisci ora a e c in funzione di b nell'ultima e trovi quanto vale b, poi risostituisci e trovi a e c.

[math]\frac{1+3+2}{3}b=180 \to b=90 \\ a= \frac{1}{\no3}\no{90}^{30} = 30 \\ c= \frac{90+30}{2} = 60[/math]

Ora, se osservi gli angoli... sono la terna 30-60-90, quindi il nostro triangolo (rettangolo) è la metà di un triangolo equilatero.

Il lato minore misura 15 (metà del lato del triangolo equilatero, quindi l'ipotenusa misura 15*2 = 30)

Con pitagora trovi l'altezza del triangolo equilatero (cateto maggiore nostro triangolo)

[math]C = \sqrt{30^2+15^2} = \sqrt{900-225} = \sqrt{675} \approx 26[/math]

Perimetro = 15+30+26 = 71

Area = (15*26) : 2 = 195


Ora do' un'occhiata al primo... se mi viene te lo spiego...

Aggiunto 27 minuti più tardi:

Ecco il primo:

Allora tu sai che il perimetro vale 36
(B=base magg, b=base min, l=lato obliq, h= altezza)

Quindi:

[math] B+b+l+h=36 [/math]

sai che:

[math] b=h,\; B=l+4,\; 2h=l+2 [/math]

Sostituisci:

[math]l+4+h+l+h=36 \to (2h)+2l+4=36 \to (l+2)+2l+4=36 \to 3l=30 [/math]

Trovato che l=10, di conseguenza trovi tutto il resto.

B=14 , h=b=6

Con la rotazione, abbiamo un solido composto da un cilindro ed un cono con le basi coincidenti.

Per la superficie totale: Superficie laterale Cilindro + Area di base + superficie laterale cono.


Ora, il raggio del cilindro e del cono è l'altezza del nostro trapezio, l'altezza del cilindro è la base minore, l'apotema del cono è il lato obliquo, l'altezza del cono è la differenza tra base maggiore e minore. (se fai il disegno capirai meglio, te lo consiglio con questi problemi).

Quindi:

[math]S_{tot} = Sl_{cil} + A_b + Sl_{con} \\ 2\pi hr + \pi r^2 + \pi r a \\ 2\pi (6)(6) + \pi (6^2)+ \pi (6)(10) \\ 72\pi + 36 \pi +60\pi = 168 \pi \; cm^2[/math]

Il volume è la somma dei volumi di cono e cilindro

[math]V_{tot} =V_{cil}+V_{con} \\ \pi r^2 h + \frac{\pi r^2 h}{3} \\ 36*6 \pi + \frac{\pi(6^2)(14-6)}{3} \\ 216 \pi + 96 \pi = 312 \pi \; cm^3[/math]

Ora vado, se non capisci scrivelo che apppena leggo te lo spiego meglio... notte :)





Ps: il 2 problema manca il quoziente come dato, lo hai dimenticato...

Aggiunto 12 ore 46 minuti più tardi:

Secondo problema:

devi soltanto trascrivere il problema sotto forma di un'equazione di primo grado.


Vediamo: chiami il tuo numero x.

Quindi sappiamo che x/15 da 4 con resto 10.

In equazione:

[math]\frac{x}{15} = 4 + \frac{10}{15} \\ x= 4*15 + 10 \\ x=60+10 \to x=70[/math]

Aggiunto 22 minuti più tardi:

Ti posto anche l'ultimo così li hai ben chiari tutti...


Allora l'areogramma lo fai tu (se non mi sbaglio è la torta no? xD)

Vediamo, calcola per prima cosa il volume della stanza.

E' un parallelepipedo, quindi il volume si trova a x b x c

[math]4 \times 5 \times 2 = 40 \; m^3[/math]

Il volume ci dice quanta aria c'è in totale nella stanza; a noi serve solo l'ossigeno, quindi solo il 21% di questa aria.

[math]40 \; : 100 \; \times 21 = 8.4 \; m^3[/math]

Ora sapendo che 1 dm^3 di ossigeno pesa 1,4 g:

Portiamo i m^3 in dm^3 con un'equivalenza: (moltiplica per 1000 in quanto riguarda un volume)

[math]8.4 \; m^3 \to 8400 \; dm^3[/math]

Ora vediamo quanto pesano in g :

[math]8400 \times 1.4 = 11760 \; g \to 11.76 \; Kg [/math]

Il rimanente è semplice:

Volume stanza (quindi anche aria) :

[math]V = 7 \times 6 \times 3 = 126 \; m^3[/math]

Peso aria:

[math]126 \times 1.293 = 162.918 \; kg[/math]