Problemi sul Teorema di Euclide e di Pitagora.

[GreenEverPro]

Ciao ragazzi/e!! Potreste gentilmente aiutarmi su questi problemi di geometria??

1) In un triangolo rettangolo il rapporto fra l'altezza relativa all'ipotenusa e un cateto è 3/5 e la loro somma misura 120 cm. Calcola perimetro e area del triangolo. (RISULTATI: 225cm ; 6560cm2)

2) Calcola perimetro e area di un triangolo rettangolo sapendo che la proiezione del cateto minore sull'ipotenusa misura 27,9 cm ed è i 3/4 dell'altezza relativa all'ipotenusa. (RISULTATI: 186 cm ; 1441,5 cm2)

Grazie in anticipo :) :D

[SteDV]

Ciao!

I problemi di questo genere si risolvono per via algebrica a partire dalle relazioni che riesci a ricavare dal testo o dai teoremi che conosci.

Cominciamo dal primo; vedi il disegno allegato.

[math]CH = \frac{3}{5} AC[/math]

[math]CH + AC = 120[/math]

La prima relazione ti consente di esprimere l'altezza CH in funzione del cateto AC (e viceversa), perciò, puoi utilizzarla per ricavare, dalla seconda relazione, un'equazione in una sola incognita (risolvibile).

[math]CH + AC = 120[/math]

[math]\frac{3}{5} AC + AC = 120[/math]

[math]\frac{8}{5} AC = 120[/math]

[math]AC = 120 \cdot \frac{5}{8} = 75[/math]

Ora che conosciamo la misura del cateto AC, possiamo ricavare l'altezza CH.

[math]CH = \frac{3}{5} AC = \frac{3}{5} \cdot 75 = 45[/math]

A questo punto ci serve la base AB, cioè l'ipotenusa del triangolo rettangolo.
Possiamo calcolarla con il primo teorema del buon vecchio Euclide, secondo cui il quadrato costruito sul cateto (AC) è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni l'ipotenusa (AB) e la proiezione su AB del cateto stesso (il segmento AH).

Calcoliamoci la proiezione con Pitagora...
(ti faccio notare che il triangolo AHC è rettangolo a sua volta)

[math]AH = \sqrt{AC^2 - CH^2} = \sqrt{75^2 - 45^2} = \sqrt{3600} = 60[/math]

Quindi, applichiamo Euclide...

[math]AC^2 = AH \cdot AB[/math]

[math]AB = \frac{AC^2}{AH} = \frac{75^2}{60} = 93,75[/math]

Ora possiamo calcolare l'area del triangolo ABC...

[math]A_{ABC} = \frac{AB \cdot CH}{2} = \frac{93,75 \cdot 45}{2} = 2109,375[/math]

Quanto al perimetro, dobbiamo prima ricavare la misura dell'altro cateto (BC)...

[math]BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{93,75^2 - 75^2} = 56,25[/math]

[math]2p_{ABC} = AB + BC + AC = 93,75 + 56,25 + 75 = 225[/math]

Problema risolto.

Il secondo problema è identico al primo con la sola differenza che i dati iniziali riguardano l'altezza CH e la proiezione AH del cateto AC.
Prova a svolgerlo allo stesso modo e dimmi se ci riesci.
Se qualcosa non torna, chiedi pure.