Problemi sui prismi. Aiutatemi per favore!!

[FrancescoDT05]

Potreste aiutarmi a risolvere questi problemi per favore?

1: Un trapezio isoscele, avente l'area di 105 cm2, costituisce la base di un prisma retto. L'area totale del prisma è 1005 cm2 e l'altezza misura 15 cm. Qual è il perimetro del trapezio?

2: Uno sgabello ha la forma di un prisma retto avente per base un triangolo isoscele. Del triangolo si conoscono il perimetro (24 dm) e la misura del lato obliquo (7,5 dm). Si sa, inoltre, che l'area totale del prisma è 138 dm2. Quanto è alto lo sgabello?

Vi ringrazio anticipatamente!! :hi

[just.stefano]

Ciao Francesco,
ecco qui i problemi spiegati.

1° problema

Ab = area di base del trapezio = 105 cm²
St = superficie totale del prisma = 1005 cm²
h = altezza del prisma = 15 cm
2p = perimetro di base del trapezio = ?

In qualsiasi prisma la superficie totale è data dalla somma della superficie laterale (Sl) e le due basi (che nei prismi sono congruenti), dunque:

St = Sl + Ab ⋅ 2

Se questa è la formula diretta, utilizziamo la formula inversa per calcolare la superficie laterale; infatti, questa è data dal perimetro per l'altezza. Quindi:

Sl = St - Ab ⋅ 2

Sostituendo i valori diventa:

Sl = 1005 - 105 ⋅ 2 =
Sl = 1005 - 210 = 795 cm²

Ora che abbiamo la superficie laterale utilizziamo la formula inversa per ottenere la misura del perimetro del trapezio:

2p = Sl : h =
2p = 795 : 15 = 53 cm


2° problema

2p = perimetro di base del triangolo = 24 dm
l = lato obliquo di base del triangolo = 7,5 dm
St = superficie totale del prisma = 138 dm²

Anche questo problema si svolge come il precedente, solo che stavolta bisogna trovare da sé la misura dell'area di base.

Per calcolare l'area di base bisogna prima trovare l'altezza, che si ricava attraverso il teorema di Pitagora; soltanto che il cateto minore è la metà della base del triangolo, non la base intera, quindi:

c₂ = √i² - c₁²

dove i è uguale al lato obliquo e c₁ alla metà della base.

Ora, per trovare la base intera per poi dimezzarla, sottraiamo i due lati obliqui (che sono congruenti) al perimetro:

b = 2p - l ⋅ 2 =
b = 24 - 7,5 ⋅ 2 =
b = 24 - 15 = 9 dm

E adesso eseguiamo il teorema di Pitagora:

c₂ = √7,5² - 4,5² =
c₂ = √56,25 - 20,25 =
c₂ = √36 = 6 dm

Quindi, calcoliamo l'area di base del triangolo:

Ab = b ⋅ h : 2 =
Ab = 9 ⋅ 6 : 2 =
Ab = 54 : 2 = 27 dm²

Bene, ora siamo arrivati al punto di ricavare la superficie laterale:

Sl = St - Ab ⋅ 2 =
Sl = 138 - 27 ⋅ 2 =
Sl = 138 - 54 = 84 dm²

Infine, utilizziamo la formula inversa per calcolare l'altezza:

h = Sl : 2p =
h = 84 : 24 = 3,5 dm


Spero di essere stato di aiuto :)