Problemi di geometria... (80093)
1) Un prisma retto, avente l'altezza di 34 cm, ha per base un triangolo isoscele. Sapendo che la base e l'altezza del triangolo misurano rispettivamente 48 cm e 18 cm, calcola l'area della superficie laterale e totale del prisma. Calcola anche il volume. [ risultati : 3672 cm^2 ; 4536 cm^2 ]
2) In un parallelepipedo rettangolo le dimensioni misurano rispettivamente 60 cm, 32 cm e 12 cm. Calcola l'area della superficie laterale e totale del parallelepipedo. [ risultati : 2208 cm^2 ; 6048 cm^2 ]
3) Le dimensioni di base di un parallelepipedo rettangolo sono una i 4/3 dell'altra. Calcola l'area della superficie totale del parallelepipedo, sapendo che è alto 15 cm e che il perimetro di base è 112 cm. [risultato : 3216 cm^2 ].
2) In un parallelepipedo rettangolo le dimensioni misurano rispettivamente 60 cm, 32 cm e 12 cm. Calcola l'area della superficie laterale e totale del parallelepipedo. [ risultati : 2208 cm^2 ; 6048 cm^2 ]
3) Le dimensioni di base di un parallelepipedo rettangolo sono una i 4/3 dell'altra. Calcola l'area della superficie totale del parallelepipedo, sapendo che è alto 15 cm e che il perimetro di base è 112 cm. [risultato : 3216 cm^2 ].
Risposte
Ciao, Fragolina! Ecco le soluzioni dei tre problemi:
1) Un prisma retto, avente l'altezza di 34 cm, ha per base un triangolo isoscele. Sapendo che la base e l'altezza del triangolo misurano rispettivamente 48 cm e 18 cm, calcola l'area della superficie laterale e totale del prisma. Calcola anche il volume.
Determiniamo innanzi tutto la misura dei lati obliqui del triangolo isoscele di base. Per farlo è sufficiente ricordare che nel triangolo isoscele l'altezza relativa alla base lo divide esattamente a metà, in due triangoli rettangoli, nei quali l'ipotenusa è il lato obliquo del triangolo isoscele (l), il cateto verticale è l'altezza (18 cm) e il cateto orizzontale è pari alla metà della base del triangolo isoscele (48 cm:2 = 24 cm).
E'dunque possibile determinare il lato obliquo del triangolo isoscele utilizzando il Teorema di Pitagora:
Detto questo, l'area laterale del prisma è pari all'area delle sue tre facce laterali. Queste hanno forma rettangolare: un lato è pari all'altezza del prisma, ed un lato è pari a ciascuno dei lati del triangolo di base.
Ovvero:
L'area totale è pari all'area laterale più due volte l'area di base (perchè le basi sono due):
L'area di base è quella del triangolo isoscele:
Quindi:
2) In un parallelepipedo rettangolo le dimensioni misurano rispettivamente 60 cm, 32 cm e 12 cm. Calcola l'area della superficie laterale e totale del parallelepipedo.
Del parallelepipedo si conosco:
1) le dimensioni di base (bxl): 60 e 32 cm.
2) l'altezza (h) = 12 cm.
L'area laterale è del prisma è pari all'area delle sue quattro facce laterali. Queste hanno forma rettangolare: per due di esse un lato è pari all'altezza del prisma ed un lato è pari a b (dimensione maggiore del rettangolo di base); per le latre due, invece, un lato è pari all'altezza del prisma ed un lato è pari ad l (dimensione minore del rettangolo di base).
Ovvero:
L'area totale è pari all'area laterale più due volte l'area di base (perchè le basi sono due):
3) Le dimensioni di base di un parallelepipedo rettangolo sono una i 4/3 dell'altra. Calcola l'area della superficie totale del parallelepipedo, sapendo che è alto 15 cm e che il perimetro di base è 112 cm.
Chiamo b ed l le due dimensioni della base rettangolare.
Si sa che:
P = 112 cm. Ma poichè P =2*l + 2*b, posso scrivere che:
Il problema dice anche b = 4/3*l (una dimensione è 4/3 dell'altra.
Nell'equazione l+b =56 cm, dunque, al posto di b posso scrivere 4/3*l.
b è pari a 4/3 di questo valore, cioè
L'area totale del prisma è pari all'area laterale più due volte l'area di base.
L'area laterale è del prisma è pari all'area delle sue quattro facce laterali. Queste hanno forma rettangolare: per due di esse un lato è pari all'altezza del prisma ed un lato è pari a b; per le latre due, invece, un lato è pari all'altezza del prisma ed un lato è pari ad l.
Ovvero:
Fine dell'esercizio. Ciao!
1) Un prisma retto, avente l'altezza di 34 cm, ha per base un triangolo isoscele. Sapendo che la base e l'altezza del triangolo misurano rispettivamente 48 cm e 18 cm, calcola l'area della superficie laterale e totale del prisma. Calcola anche il volume.
Determiniamo innanzi tutto la misura dei lati obliqui del triangolo isoscele di base. Per farlo è sufficiente ricordare che nel triangolo isoscele l'altezza relativa alla base lo divide esattamente a metà, in due triangoli rettangoli, nei quali l'ipotenusa è il lato obliquo del triangolo isoscele (l), il cateto verticale è l'altezza (18 cm) e il cateto orizzontale è pari alla metà della base del triangolo isoscele (48 cm:2 = 24 cm).
E'dunque possibile determinare il lato obliquo del triangolo isoscele utilizzando il Teorema di Pitagora:
[math]l = \sqrt{24^2 + 18^2}= \sqrt{576 + 324}= \sqrt{900}= 30 cm[/math]
Detto questo, l'area laterale del prisma è pari all'area delle sue tre facce laterali. Queste hanno forma rettangolare: un lato è pari all'altezza del prisma, ed un lato è pari a ciascuno dei lati del triangolo di base.
Ovvero:
[math]Alat = h*l + h*l + h*b = h (l+l+b) = h(2l+b) = [/math]
[math]34*(2*30 + 48 )= 34*108 = 3672 cm^2. [/math]
L'area totale è pari all'area laterale più due volte l'area di base (perchè le basi sono due):
[math]A tot = Alat + 2*Abase[/math]
L'area di base è quella del triangolo isoscele:
[math]b*altezza/2 =48*18/2 = 432 cm^2[/math]
Quindi:
[math]A tot = Alat + 2*Abase = 3672 + 2*432 = 3672 + 864 = 4536 cm^2[/math]
2) In un parallelepipedo rettangolo le dimensioni misurano rispettivamente 60 cm, 32 cm e 12 cm. Calcola l'area della superficie laterale e totale del parallelepipedo.
Del parallelepipedo si conosco:
1) le dimensioni di base (bxl): 60 e 32 cm.
2) l'altezza (h) = 12 cm.
L'area laterale è del prisma è pari all'area delle sue quattro facce laterali. Queste hanno forma rettangolare: per due di esse un lato è pari all'altezza del prisma ed un lato è pari a b (dimensione maggiore del rettangolo di base); per le latre due, invece, un lato è pari all'altezza del prisma ed un lato è pari ad l (dimensione minore del rettangolo di base).
Ovvero:
[math]Alat = 2*h*b + 2*h*l = 2h*(b+l) = 2*12*(60+32) = [/math]
[math]2*12*92 = 2208 cm^2[/math]
L'area totale è pari all'area laterale più due volte l'area di base (perchè le basi sono due):
[math]A tot = Alat + 2*Abase = 2208 +2*b*l = 2208 + 2*60*32 = 2208 + 3840= 6048 cm^2[/math]
3) Le dimensioni di base di un parallelepipedo rettangolo sono una i 4/3 dell'altra. Calcola l'area della superficie totale del parallelepipedo, sapendo che è alto 15 cm e che il perimetro di base è 112 cm.
Chiamo b ed l le due dimensioni della base rettangolare.
Si sa che:
P = 112 cm. Ma poichè P =2*l + 2*b, posso scrivere che:
[math]2*l +2*b = 112 cm[/math]
[math]2*(l+b) = 112[/math]
[math]l+b = 112/2 = 56 cm [/math]
Il problema dice anche b = 4/3*l (una dimensione è 4/3 dell'altra.
Nell'equazione l+b =56 cm, dunque, al posto di b posso scrivere 4/3*l.
[math]l + 4/3*l =56 cm[/math]
[math]3/3*l +4/3*l = 56 cm[/math]
[math]7/3*l = 56 cm[/math]
[math]l = 56*3/7 = 24 cm. [/math]
b è pari a 4/3 di questo valore, cioè
[math]24*4/3 = 32 cm.[/math]
L'area totale del prisma è pari all'area laterale più due volte l'area di base.
L'area laterale è del prisma è pari all'area delle sue quattro facce laterali. Queste hanno forma rettangolare: per due di esse un lato è pari all'altezza del prisma ed un lato è pari a b; per le latre due, invece, un lato è pari all'altezza del prisma ed un lato è pari ad l.
Ovvero:
[math]Alat = 2*h*b + 2*h*l = 2h*(b+l) = 2*15* (24+32) = [/math]
[math]2*15*56 = 1680 cm^2[/math]
[math]A tot = Alat + 2*Abase = 1680 +2*b*l = 2208 + 2*24*32 = [/math]
[math]1680 + 1536= 3216 cm^2[/math]
Fine dell'esercizio. Ciao!
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