Problemi (53441)
mi aiutate con questi problemi di geometria
1- i perimetri di 2 rettangoli simili misurano,rispettivamente 320mm e 720mm.Indica il rapporto di similitudine fra i lati e quello fra le aree
2- il rapporto fra le aree di 2 rombo simili,ABCD eA'B'C'D' è 49/9
(frazione).Sapendo che l'area di ABCD è di 216 cm2 (quadrati)e che una diagonale della seconda figura è di 56cm calcola il perimetro di A'B'C'D'
3-2 trapezi isosceli ABCD e A'B'C'D'sono simili e il rapporto di similitudine è 5/8.Sapendo che la base maggiore e l'altezza di A'B'C'D' sono rispettivamente 41/17 e 15/17 del lato obliquo e che la somma dei 3 segmenti è di 146 cm calcola l'area di ABCD
Spero che mi possiate aiutare a capire il meccanismo di questi problemi.
GRAZIE BACI
Aggiunto 2 ore 57 minuti più tardi:
grazie BIT sei sempre speciale t.v.b.issimo :bounce :bounce
1- i perimetri di 2 rettangoli simili misurano,rispettivamente 320mm e 720mm.Indica il rapporto di similitudine fra i lati e quello fra le aree
2- il rapporto fra le aree di 2 rombo simili,ABCD eA'B'C'D' è 49/9
(frazione).Sapendo che l'area di ABCD è di 216 cm2 (quadrati)e che una diagonale della seconda figura è di 56cm calcola il perimetro di A'B'C'D'
3-2 trapezi isosceli ABCD e A'B'C'D'sono simili e il rapporto di similitudine è 5/8.Sapendo che la base maggiore e l'altezza di A'B'C'D' sono rispettivamente 41/17 e 15/17 del lato obliquo e che la somma dei 3 segmenti è di 146 cm calcola l'area di ABCD
Spero che mi possiate aiutare a capire il meccanismo di questi problemi.
GRAZIE BACI
Aggiunto 2 ore 57 minuti più tardi:
grazie BIT sei sempre speciale t.v.b.issimo :bounce :bounce
Risposte
1) le misure lineari sono in proporzione costante tra figure simili..
Quindi se due poligoni sono simili, avranno i lati in proporzione, le altezze, i perimetri, le diagonali ecc ecc.
Pertanto la proporzione tra i due rettangoli sara':
Quindi per trovare tutte le misure dei rettangoli devi usare la proporzione:
Dove
Le misure di superficie, invece, essendo misure al quadrato, stanno tra loro nella proporzione:
Ovvero
Dove A1 e A2 sono le aree dei rettangoli
Aggiunto 18 minuti più tardi:
Per il secondo:
Grazie alla proporzione
(dove x e' l'area del rombo A'B'C'D') trovi l'area
Mentre grazie alla proporzione lineare
(ovvero 7 : 3 = 56 : x ) ricavi allo stesso modo la diagonale di A'B'C'D'.
Grazie alla formula inversa
Ricavi l'altra diagonale
A questo punto grazie al teorema di Pitagora, usando meta' delle diagonali come cateti (ricordati che le diagonali di un rombo si dividono a meta' e formano 4 triangoli rettangoli uguali, aventi come cateti meta' delle diagonali e come ipotenusa il lato) ricavi la lunghezza del lato del rombo.
Moltiplichi per 4 e hai il perimetro
Aggiunto 9 minuti più tardi:
3) lavoriamo sul trapezio A'B'C'D'
Rappresenta il lato obliquo, con un segmento a piacere, e dividilo in 17 parti
uguali (dette unita' frazionarie)
Ora disegna la base maggiore (lunga 41 unita' frazionarie) e la base minore (lunga 15 unita' frazionarie).
La somma sara' un segmento lungo lato obliquo (17 u.f.) + base maggiore (41 u.f.) + base minore (15 u.f.) = 73 u.f.
Queste 73 u.f. misurano 146, quindi ognuna di queste sara' 146 : 73 = 2cm
E pertanto:
lato obliquo = 17 x 2 cm = 34 cm
Base maggiore = 41 x 2cm = 82 cm
Base minore = 15 x 2cm = 30 cm
Calcoliamo ora l'altezza di questo trapezio:
Essa e' il cateto del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo e come cateto, la base maggiore a cui togli la base minore (ottenendo i due "pezzi" in piu') e dividendo per due.
Pertanto l'altro cateto sara' (82 - 30 ) : 2 = 26
Quindi grazie a Pitagora trovi l'altezza (ovvero il cateto)
Adesso puoi fare due cose.
O grazie alla proporzione
ricavi tutte le misure dell'altro trapezio.
Oppure calcoli l'area del trapezio di cui hai tutti i dati e poi calcoli l'altra area grazie alla proporzione tra le superfici, ovvero
Il risultato e' lo stesso.
il secondo metodo e' senza dubbio piu' veloce
Quindi se due poligoni sono simili, avranno i lati in proporzione, le altezze, i perimetri, le diagonali ecc ecc.
Pertanto la proporzione tra i due rettangoli sara':
[math] \frac{320}{720} = \frac{32}{72}= \frac{4}{9} [/math]
Quindi per trovare tutte le misure dei rettangoli devi usare la proporzione:
[math] 4 : 9 = x_1 : x_2 [/math]
Dove
[math] x_1 \ \ \ e \ \ \ x_2 [/math]
sono le misure corrispondenti delle figure (ad esempio base del primo rettangolo e base del secondo, altezza1 e altezza2, perimetro1 e perimetro2)Le misure di superficie, invece, essendo misure al quadrato, stanno tra loro nella proporzione:
[math] 4^2 : 9^2 [/math]
Ovvero
[math] 16 : 81 = A_1 : A_2 [/math]
Dove A1 e A2 sono le aree dei rettangoli
Aggiunto 18 minuti più tardi:
Per il secondo:
Grazie alla proporzione
[math] 49 : 9 = 216 : x [/math]
(dove x e' l'area del rombo A'B'C'D') trovi l'area
[math] x= \frac{9 \cdot 216}{49} [/math]
Mentre grazie alla proporzione lineare
[math] \sqrt{49} : \sqrt9 [/math]
(ovvero 7 : 3 = 56 : x ) ricavi allo stesso modo la diagonale di A'B'C'D'.
Grazie alla formula inversa
[math] d= \frac{2A}{D} [/math]
Ricavi l'altra diagonale
A questo punto grazie al teorema di Pitagora, usando meta' delle diagonali come cateti (ricordati che le diagonali di un rombo si dividono a meta' e formano 4 triangoli rettangoli uguali, aventi come cateti meta' delle diagonali e come ipotenusa il lato) ricavi la lunghezza del lato del rombo.
Moltiplichi per 4 e hai il perimetro
Aggiunto 9 minuti più tardi:
3) lavoriamo sul trapezio A'B'C'D'
Rappresenta il lato obliquo, con un segmento a piacere, e dividilo in 17 parti
uguali (dette unita' frazionarie)
Ora disegna la base maggiore (lunga 41 unita' frazionarie) e la base minore (lunga 15 unita' frazionarie).
La somma sara' un segmento lungo lato obliquo (17 u.f.) + base maggiore (41 u.f.) + base minore (15 u.f.) = 73 u.f.
Queste 73 u.f. misurano 146, quindi ognuna di queste sara' 146 : 73 = 2cm
E pertanto:
lato obliquo = 17 x 2 cm = 34 cm
Base maggiore = 41 x 2cm = 82 cm
Base minore = 15 x 2cm = 30 cm
Calcoliamo ora l'altezza di questo trapezio:
Essa e' il cateto del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo e come cateto, la base maggiore a cui togli la base minore (ottenendo i due "pezzi" in piu') e dividendo per due.
Pertanto l'altro cateto sara' (82 - 30 ) : 2 = 26
Quindi grazie a Pitagora trovi l'altezza (ovvero il cateto)
[math] h= \sqrt{34^2-26^} [/math]
Adesso puoi fare due cose.
O grazie alla proporzione
[math] 5 : 8 = x_1 : x_2 [/math]
ricavi tutte le misure dell'altro trapezio.
Oppure calcoli l'area del trapezio di cui hai tutti i dati e poi calcoli l'altra area grazie alla proporzione tra le superfici, ovvero
[math] 5^2 : 8^2 = A_1 : A_2 [/math]
Il risultato e' lo stesso.
il secondo metodo e' senza dubbio piu' veloce