Problema sull'elevamento a potenza
Salve, ho trovato su un nuovo libro di matematica per la scuola media inferiore il seguente problema a proposito dell'elevamento a potenza, qualcuno saprebbe risolverlo?
"Pietro, come pesce d'aprile, ha deciso di diffondere la notizia che la scuola finisce alle ore 11. Comincia il suo scherzo raccontando la cosa a 3 studenti, e per fare questo impiega un minuto. Ciascuno di questi 3 studenti comunica la notizia ad altri 3 studenti, impiegando un minuto. Immaginiamo che tutti informino soltanto persone che non hanno ancora sentito la notizia. Quante persone verranno informate a) dopo 2 minuti?
b) dopo 4 minuti?
c) Dopo quanti minuti tutti gli 800 alunni della scuola saranno stati informati?
(Io ho pensato di sommare man mano gli studenti informati seguendo le potenze di 3 mentre il testo propone come soluzioni: 9, 81 e 7 minuti. Perchè?)
"Pietro, come pesce d'aprile, ha deciso di diffondere la notizia che la scuola finisce alle ore 11. Comincia il suo scherzo raccontando la cosa a 3 studenti, e per fare questo impiega un minuto. Ciascuno di questi 3 studenti comunica la notizia ad altri 3 studenti, impiegando un minuto. Immaginiamo che tutti informino soltanto persone che non hanno ancora sentito la notizia. Quante persone verranno informate a) dopo 2 minuti?
b) dopo 4 minuti?
c) Dopo quanti minuti tutti gli 800 alunni della scuola saranno stati informati?
(Io ho pensato di sommare man mano gli studenti informati seguendo le potenze di 3 mentre il testo propone come soluzioni: 9, 81 e 7 minuti. Perchè?)
Risposte
pure io sono d'accordo con te non so come mai il risultato sia questo
Sembra che la soluzione del libro non tenga conto delle persone che sono già state informate.
Di quale libro si tratta?
Di quale libro si tratta?
Si, anch'io ho pensato che ad ogni passo si dimenticasse di chi era stato informato a quello prima ma non ce n'è motivo secondo me.
Il libro si intitola "Contaci! Numeri, relazioni, dati", edito da Zanichelli.
Grazie!
Il libro si intitola "Contaci! Numeri, relazioni, dati", edito da Zanichelli.
Grazie!
Si, è quello.
Sfogo fortemente OT
[ot]Sembra che la didattica della matematica debba cambiare e in tal senso si sprecano i tentativi di proporre innovazioni. L'errore che abbiamo trovato è figlio dell'ansia di escogitare esercizi legati alla realtà percepita degli alunni: gli autori volevano per forza far entrare la crescita esponenziale in un esercizio accattivante per gli alunni distogliendo la loro attenzione dal contenuto stesso dell'esercizio.
Ho frequentato la scuola da studente molti anni fa e non ho nulla di cui lamentarmi: ho imparato quanto potevo grazie forse al fatto che i miei insegnanti non avevano tante ansie.[/ot]
[ot]Sembra che la didattica della matematica debba cambiare e in tal senso si sprecano i tentativi di proporre innovazioni. L'errore che abbiamo trovato è figlio dell'ansia di escogitare esercizi legati alla realtà percepita degli alunni: gli autori volevano per forza far entrare la crescita esponenziale in un esercizio accattivante per gli alunni distogliendo la loro attenzione dal contenuto stesso dell'esercizio.
Ho frequentato la scuola da studente molti anni fa e non ho nulla di cui lamentarmi: ho imparato quanto potevo grazie forse al fatto che i miei insegnanti non avevano tante ansie.[/ot]
"mafi89":
. Immaginiamo che tutti informino soltanto persone che non hanno ancora sentito la notizia.
questa frase serve solo per non entrare in contraddizione con la soluzione. ti spiego come procedere e perchè c'è quella frase nel problema, che ti ha spinto fuori strada.
inizialmente tutti gli studenti non conoscono l'informazione e bisogna procedere quindi seguendo questa idea,
passa $1$ min e $3$ la conoscono,
passa il secondo e siamo a $3^2$
passa il terzo e siamo a $3^3$,
quindi al minuto N saranno informati $3^N$ studenti ok?
quindi per rispondere alle prime due domande:
a) dopo 2 min ? risposta: $3^2 = 9$
b) dopo 4 min ? risposta: $3^4 = 81$
a questo punto per rispondere alla terza continui a seguire le potenze di 3 e scopri che $3^6 = 729$ e $3^7 = 2187$. L'inghippo per così dire sta qui. cerco di spiegarlo più chiaramente possibile. Le persone nella scuola sono 800, arrivati al sesto minuto 729 saranno a conoscenza dell'informazione mentre 800-729= 71 non ne sanno ancora nulla, se ora passa un'altro minuto ( il settimo) in teoria sarebbero informate 2187 persone, MA le persone sono solo 800 quindi va da se che nell'ultimo minuto molti verrebbero informati due volte, ecco perchè nel problema è specificato che si ipotizza di informare solo chi non ne è già a conoscenza.
se hai dubbi sono qui.
come si suol dire: a volte la soluzione più semplice è anche quella giusta.
Non credo che la soluzione del libro sia corretta
Il testo riportato da mafia è
Ragiono nel seguente modo
dopo 1 minuto Pietro informa 3 studenti, di conseguenza le persone a conoscenza della notizia sono, i 3 amici di Pietro ma anche lo stesso Pietro. Quindi dopo 1 minuto sono informati $1+3=4$ studenti
Ipotizzando che ogni persona dopo aver passato la notizia a 3 ragazzi, non informi più nessuno (cosa tra l'altro non del tutto chiara dal testo), dopo 2 minuti abbiamo $1+3+9=13$ studenti informati
dopo 4 minuti $1+3+9+27+81=121$ studenti informati, dopo $n$ minuti
$3^0+3^1+3^2+3^4+3^5... +3^(n-1)+3^n$
Esiste una formula per calcolare rapidamente questa somma, utilizzandola ti accorgi che dopo 6 minuti sarebbero informate più di 800 persone.
Tu cosa ne pensi?
Il testo riportato da mafia è
"mafi89":
"Pietro, come pesce d'aprile, ha deciso di diffondere la notizia che la scuola finisce alle ore 11. Comincia il suo scherzo raccontando la cosa a 3 studenti, e per fare questo impiega un minuto. Ciascuno di questi 3 studenti comunica la notizia ad altri 3 studenti, impiegando un minuto. Immaginiamo che tutti informino soltanto persone che non hanno ancora sentito la notizia. Quante persone verranno informate a) dopo 2 minuti?
b) dopo 4 minuti?
c) Dopo quanti minuti tutti gli 800 alunni della scuola saranno stati informati?
Ragiono nel seguente modo
dopo 1 minuto Pietro informa 3 studenti, di conseguenza le persone a conoscenza della notizia sono, i 3 amici di Pietro ma anche lo stesso Pietro. Quindi dopo 1 minuto sono informati $1+3=4$ studenti
Ipotizzando che ogni persona dopo aver passato la notizia a 3 ragazzi, non informi più nessuno (cosa tra l'altro non del tutto chiara dal testo), dopo 2 minuti abbiamo $1+3+9=13$ studenti informati
dopo 4 minuti $1+3+9+27+81=121$ studenti informati, dopo $n$ minuti
$3^0+3^1+3^2+3^4+3^5... +3^(n-1)+3^n$
Esiste una formula per calcolare rapidamente questa somma, utilizzandola ti accorgi che dopo 6 minuti sarebbero informate più di 800 persone.
Tu cosa ne pensi?
@gio73
anche io inizialmente avevo pensato alla somma ma l'ho scartata per la non concordanza con le soluzione e anche per una considerazione; eccola:
leggendo attentamente la frase, questa dice: " quante persone verranno informate dopo tot minuti" e non "quante persone sono già a conoscenza dell'informazione dopo tot minuti", cioè io credo si riferisca all'espansione dell'informazione e non allo stato dell'espansione al minuto tot. non so se sono stato chiaro. d'altro canto seguendo il mio ragionamento arrivo alle soluzioni proposte.
Ciò non toglie ovviamente che l'autore del problema poteva indubbiamente essere più chiaro.
anche io inizialmente avevo pensato alla somma ma l'ho scartata per la non concordanza con le soluzione e anche per una considerazione; eccola:
leggendo attentamente la frase, questa dice: " quante persone verranno informate dopo tot minuti" e non "quante persone sono già a conoscenza dell'informazione dopo tot minuti", cioè io credo si riferisca all'espansione dell'informazione e non allo stato dell'espansione al minuto tot. non so se sono stato chiaro. d'altro canto seguendo il mio ragionamento arrivo alle soluzioni proposte.
Ciò non toglie ovviamente che l'autore del problema poteva indubbiamente essere più chiaro.
Naturalmente l'autore voleva proprio quel tipo di soluzione, ma la domanda c) non lascia dubbi: chiede proprio quanto tempo ci vuole per informare tutti gli 800 studenti della scuola. Vanno dunque considerati anche coloro che sono già a conoscenza del fatto; a meno di ambientare la storiella in una scuola di cerebrolesi* che hanno perso la memoria a breve termine e ricordano solo eventi che sono avvenuti nell'arco di un minuto e mezzo, la soluzione del libro non è accettabile.
Il fatto che la soluzione trovata non concordi con quella del libro non deve indurre una persona a scartare le proprie ipotesi, ma a cercare di argomentarle nel miglior modo possibile. A te la parola.
*Sto leggendo un libro di Oliver Sacks che descrive proprio questo tipo di problemi
Il fatto che la soluzione trovata non concordi con quella del libro non deve indurre una persona a scartare le proprie ipotesi, ma a cercare di argomentarle nel miglior modo possibile. A te la parola.
*Sto leggendo un libro di Oliver Sacks che descrive proprio questo tipo di problemi
"gio73":
domanda c) non lascia dubbi: chiede proprio quanto tempo ci vuole per informare tutti gli 800 studenti della scuola. Vanno dunque considerati anche coloro che sono già a conoscenza del fatto;
permettimi di dissentire sul fatto che non lascia dubbi. nell'ultimo minuto in teoria verrebbero informate molte più persone ma essendo fisicamente presenti solo 800 necessariamente molti informeranno persone già informate, è solo per giustificare questo che l'autore ha scritto la nota. come ho scritto credo che il problema sia nella distinzione tra velocità di propagazione dell'informazione e stato di propagazione. ( scrivo questo anche in riferimento a quello che hai scritto sul fatto di cercare di argomentare le proprie soluzioni, vedi sotto)
Il fatto che la soluzione trovata non concordi con quella del libro non deve indurre una persona a scartare le proprie ipotesi, ma a cercare di argomentarle nel miglior modo possibile.
d'accordissimo, non fraintendermi, non ho indicato quella soluzione come quella giusta solo perchè è quella indicata; come ho scritto, ho valutato anche la tua, ma considerando la natura, lo scopo e l'ambiguità sul testo ho scelto la soluzione che meglio concorda con questi tre parametri (d'altro canto l'autore del primo post cercava una spiegazione che concordasse con quella indicata sul libro, primariamente); personalmente credo che anche la tua sia una soluzione validissima e corretta per quel problema, con quel testo.
a questo punto l'unico modo di sapere quale delle due è la veritiera sarebbe contattare l'autore del libro.
Sto leggendo un libro di Oliver Sacks che descrive proprio questo tipo di problemi
la cosa mi interessa, puoi mandarmi un messaggio privato con il titolo ?
"ack6":
a questo punto l'unico modo di sapere quale delle due è la veritiera sarebbe contattare l'autore del libro.
L'esercizio è stato tratto da un testo per la prima media quindi l'interpretazione che hai dato tu è quella che si aspettavano gli autori del libro (dovrebbe trattarsi della traduzione di un manuale finlandese)
Rilancio: se le persone a conoscenza dell'uscita anticipata continuassero a diffondere la notizia (senza fermarsi al primo minuto, realizzando sempre tre contatti al minuto) come faresti a trovare il numero di minuti necessari a informare tutti gli 800 studenti?
"gio73":
Rilancio: se le persone a conoscenza dell'uscita anticipata continuassero a diffondere la notizia (senza fermarsi al primo minuto, realizzando sempre tre contatti al minuto) come faresti a trovare il numero di minuti necessari a informare tutti gli 800 studenti?
chiamiamo $P(N)$ la popolazione a conoscenza dell'informazione al minuto $N$.
$P(0)=1$
$P(1)=P(0)*3+P(0)$
$P(2)=P(1)*3+P(1)$
$P(3)=P(2)*3+P(2)$
$P(4)=P(3)*3+P(3)$
$P(5)=P(4)*3+P(4)$
e quindi in generale ottengo l'equazione ricorsiva:
$P(N)=P(N-1)*3+P(N-1)$
che si può riscrivere:
$P(N)=4*P(N-1)$
facendo due conti:
$P(0)=1$
$P(1)=P(0)*3+P(0)=4$
$P(2)=P(1)*3+P(1)=16$
$P(3)=P(2)*3+P(2)=64$
$P(4)=P(3)*3+P(3)=256$
$P(5)=P(4)*3+P(4)=1024$
quindi tra il minuto 4 e il minuto 5 tutte le persone sono informate.
al che tu mi dirai: ma io avevo chiesto il tempo esatto!
la soluzione a spanne di sopra in effetti può essere precisata meglio:
Ho recuperato il libro e trovato il problema
Ma sulla mia copia non è indicata alcuna soluzione...
"mafi89":
(Io ho pensato di sommare man mano gli studenti informati seguendo le potenze di 3 mentre il testo propone come soluzioni: 9, 81 e 7 minuti. Perchè?)
Ma sulla mia copia non è indicata alcuna soluzione...
"gio73":
Rilancio: se le persone a conoscenza dell'uscita anticipata continuassero a diffondere la notizia (senza fermarsi al primo minuto, realizzando sempre tre contatti al minuto) come faresti a trovare il numero di minuti necessari a informare tutti gli 800 studenti?
Se fai le medie a tentoni, altrimenti
\(\displaystyle 3^x = 800\)
\(\displaystyle log(3^x) = log(800) \)
\(\displaystyle x log(3) = log(800) \)
\(\displaystyle x=\frac{log(800)}{log(3)} = 6.08 \)
Che sono 7 minuti...
Ciao mark 97, di nuovo benvenuto.
Questa sarebbe la soluzione che propone il libro al suo quesito e che abbiamo discusso in precedenza, non credo vada bene per il rilancio.
Questa sarebbe la soluzione che propone il libro al suo quesito e che abbiamo discusso in precedenza, non credo vada bene per il rilancio.
In base al tuo rilancio hai messo in considerazione che le persone possando diffondere la notizia a persone che già la conoscono? Se così fosse tutti potrebbero darsi nuovamente la notizia e "saltare" chi non la conosce. Quindi qualcuno potrebbe anche non venirne mai a conoscenza...
"mark97":
In base al tuo rilancio hai messo in considerazione che le persone possando diffondere la notizia a persone che già la conoscono?
No
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