Problema geometria (195801)
In un triangolo rettangolo l'altezza relativa all'ipotenusa misura 21,6 dm e il suo piede dista 6,3 dm dal punto medio dell'ipotenusa.
Come calcolo il perimetro e l'area del triangolo e la misura delle proiezioni dei cateti sull'ipotenusa solo con questi dati ??
Grazie !
Luisa
Come calcolo il perimetro e l'area del triangolo e la misura delle proiezioni dei cateti sull'ipotenusa solo con questi dati ??
Grazie !
Luisa
Risposte
il triangolo ABC è retto in A
H è il piede dell'altezza relativa all'ipotenusa BC
M è il punto medio di BC
AM è la mediana relativa all'ipotenusa, che nel triangolo rettangolo misura metà dell'ipotenusa
applico il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo che ha la mediana per ipotenusa e per cateti l'altezza del trapezio e il segmento HM, e trovo la mediana
√¯ ( 21,6 * 21,6 + 6,3 * 6,3 ) = √¯ 506,25 = 22,5 dm --- metà ipotenusa
22,5 * 2 = 45 dm --- ipotenusa
22,5 + 6,3 = 28,8 dm --- PROIEZIONE del cateto maggiore sull'ipotenusa
45 - 28,8 = 16,2 dm --- PROIEZIONE del cateto minore sull'ipotenusa
il cateto è medio proporzionale tra l'ipotenusa e la propria proiezione su di essa
( 1° teorema Euclide )
45 : x = x : 28,8
x^2 = 45 * 28,8 = 1.296
x = √¯ 1.296 = 36 dm --- cateto maggiore
45 : x = x : 16,2
x^2 = 45 * 16,2 = 729
x = √¯ 729 = 27 dm --- cateto minore
27 + 36 + 45 = 108 dm --- PERIMETRO
27 * 36 / 2 = 486 dm^2 --- AREA
H è il piede dell'altezza relativa all'ipotenusa BC
M è il punto medio di BC
AM è la mediana relativa all'ipotenusa, che nel triangolo rettangolo misura metà dell'ipotenusa
applico il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo che ha la mediana per ipotenusa e per cateti l'altezza del trapezio e il segmento HM, e trovo la mediana
√¯ ( 21,6 * 21,6 + 6,3 * 6,3 ) = √¯ 506,25 = 22,5 dm --- metà ipotenusa
22,5 * 2 = 45 dm --- ipotenusa
22,5 + 6,3 = 28,8 dm --- PROIEZIONE del cateto maggiore sull'ipotenusa
45 - 28,8 = 16,2 dm --- PROIEZIONE del cateto minore sull'ipotenusa
il cateto è medio proporzionale tra l'ipotenusa e la propria proiezione su di essa
( 1° teorema Euclide )
45 : x = x : 28,8
x^2 = 45 * 28,8 = 1.296
x = √¯ 1.296 = 36 dm --- cateto maggiore
45 : x = x : 16,2
x^2 = 45 * 16,2 = 729
x = √¯ 729 = 27 dm --- cateto minore
27 + 36 + 45 = 108 dm --- PERIMETRO
27 * 36 / 2 = 486 dm^2 --- AREA
Una bella risposta l'hai già ricevuta da srasente15 (che dal suo prossimo
intervento nel Forum invito a lasciare qualche conticino a chi pone la do-
manda, cosicché non trovi tutta la pappa pronta e impari qualcosina in
più). Però, ecco, già che ci sono propongo una risoluzione alternativa
per coloro che abbiano già affrontato le equazioni alle scuole medie.
Innanzitutto è bene fare un bel disegno, ad esempio, come il seguente:
Ponendo
segue che
Ebbene, per il secondo teorema di Euclide, si ha:
da cui
A questo punto, la determinazione del resto è banale. ;)
intervento nel Forum invito a lasciare qualche conticino a chi pone la do-
manda, cosicché non trovi tutta la pappa pronta e impari qualcosina in
più). Però, ecco, già che ci sono propongo una risoluzione alternativa
per coloro che abbiano già affrontato le equazioni alle scuole medie.
Innanzitutto è bene fare un bel disegno, ad esempio, come il seguente:
Ponendo
[math]\small \overline{AH} = 21.6\,dm[/math]
, [math]\small \overline{BH} = x\,dm[/math]
e [math]\small \overline{HM} = 6.3\,dm[/math]
, segue che
[math]\overline{BM} = \overline{BH} + \overline{HM} = (x + 6.3)\,dm[/math]
e quindi [math]\overline{HC} = 2\,\overline{BM} - \overline{BH} = (x + 12.6)\,dm\\[/math]
.Ebbene, per il secondo teorema di Euclide, si ha:
[math]\overline{AH}^2 = \overline{BH}\cdot\overline{HC}[/math]
ossia [math](21.6)^2 = x(x + 12.6)[/math]
, da cui
[math](x - 16.2)(x + 28.8) = 0[/math]
e quindi l'unica [math]x>0[/math]
che soddisfa quell'equazione è [math]x = 16.2\,dm\\[/math]
. A questo punto, la determinazione del resto è banale. ;)
ho scelto la prima risposta molto chiara
grazie|
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