Problema di geometria aiut

[Claudsi]

La somma dell'apotema e dell'altezza di una
piramide quadrangolare regolare misura
50 cm e la loro differenza è 8 cm. Calcola
l'area laterale e l'area totale della piramide.

[gio.cri]

Ciao Claudsi,
Ti chiedo gentilmente per i prossimi post (se ci saranno) di allegare una tua soluzione, per capire dove trovi maggiormente difficolta'.

Procediamo con i ragionamenti per arrivare alla soluzione.

Conosciamo la somma e la differenza tra apotema ed altezza della piramide quadrangolare regolare:

[math] 1) a+h=50 [cm] [/math]

[math] 2) a-h = 8 [cm] [/math]

La prima cosa che dobbiamo notare e' che i segni di apotema ed altezza non possono essere cambiati, perche' per definizione, l'apotema ha sicuramente valore maggiore dell'altezza. Quindi, svolgendo questo sistema, otteniamo:

[math] 2) a=8+h [/math]

[math] 1) 8+h+h=50 [/math]

[math] 1) 2h=50-8 = 42 [cm] [/math]

[math] 1) h=21 [cm] [/math]

Quindi:

[math] 2) a = 8 +21 = 29 [cm] [/math]

Con il teorema di Pitagora possiamo calcolare meta' lato di base:

[math] \frac{l}{2}= \sqrt{29^2-21^2}=\sqrt{40 0}=20 [cm] [/math]

Ovvero:

[math] l = 2*20 =40 [cm] [/math]

Possiamo, a questo punto, calcolare l'area di base poiche' sappiamo che stiamo trattando una piramide con base quadrangolare:

[math] A_{base} = l^2 = l*l = 40*40 = 1600 [cm^2] [/math]

Inoltre, essendo una piramide regolare possiamo sfruttare l'apotema per calcolare l'area laterale, mediante questa relazione:

[math] A_{lat} = \frac{perimetro*a}{2} [/math]

Notiamo che ci manca il perimetro che possiamo calcolare in questo modo:

[math] perimetro = 4*l =4*40 = 160 [cm][/math]

Adesso, abbiamo tutto, quindi:

[math] A_{lat} = \frac{160*29}{2} = 2320 [cm^2] [/math]

Per l'area totale:

[math] A_{TOT} = A_{base}+A_{lat} = 1600+2320 = 3920 [cm^2] [/math]

Fine esercizio

Spero di esserti stato d'aiuto. Ti auguro una buona giornata.