Problema angoli

[filippo51]

Vorrei cercare di spiegare a una bambina di 1a media nel modo pù semplice questo problema:
Un angolo è la meta' più 10 del secondo, il quale è il triplo meno 13 del terzo e il totale è 106.

Grazie

[axpgn]

Puoi usare i quadratini anche in questo caso …

Adesso pero arriva @melia che te lo spiega meglio di me …

[StellaMartensitica]

Normalmente si potrebbe fare un sistema, cioè si scrive algebricamente le tre condizioni, così:
la più semplice delle tre è l'ultima:

$\alpha+\beta+\gamma=106°$

Cioè sono tre angoli, le cui ampiezze, sommate, mi devono dare $106°$

Un angolo è la metà più dieci del secondo, ovvero:

$\alpha=1/2*\beta+10$

Il secondo è il triplo del terzo diminuito di $13°$

$\beta=3*\gamma-13$


$\{(\alpha+\beta+\gamma=106°),(\alpha=1/2*\beta+10°),(\beta=3*\gamma-13°):}$

Risolto mi dà:

$\alpha=35°$

$\beta=50°$

$\gamma=21°$

La soluzione potrebbe farsi per sostituzione, cioè sostituendo ordinatamente una delle tre condizioni nelle altre due:

Mettiamo la condizione di $(\alpha)=1/2*\beta+10°$ nella condizione

$(\alpha)+\beta+\gamma=106°$

$(1/2*\beta+10°)+\beta+\gamma=106°$

$1/2*\beta+10°+\beta+\gamma=106°$

$3/2*\beta+\gamma=96°$

$\gamma=96-3/2*\beta$


Adesso prendo queste altre due:
$\gamma=96-3/2*\beta$
$\beta=(3*\gamma-13°)$

e le combino

$\gamma=96°-3/2*\beta=96°-3/2*(3*\gamma-13°)=96°-9/2*\gamma+(39°)/2$

$\gamma=96°-9/2*\gamma+(39°)/2$

$11/2*\gamma=96°+(39°)/2$

$\gamma=2/11*(96°+(39°)/2)=2/11*(231°)/2=(7*3*11°)/2*2/11=7*3=21°$

Riprendo quanto ottenuto in precedenza a questo punto:
$\beta=(3*\gamma-13°)=63-13=50°$

$\alpha=1/2*\beta+10°=1/2*50°+10°=35°$

In definitiva:
$\{(\alpha=35°),(\beta=50°),(\gamma=21°):}$

@axpgn

"axpgn":Puoi usare i quadratini anche in questo caso …

Di che quadratini si tratta?

[axpgn]

@Sir
Prima media!

[StellaMartensitica]

Cavoli è vero! Non è facile però semplificare. Non conosco altre vie al momento. Scusate l'intrusione. Mi intriga ciò che hai asserito, cioè che ci sia una via più elementare. Non mi viene in mente niente.

[axpgn]

Il metodo dei "quadratini" (come lo chiamo io ma anche molti altri ) consiste nell'assegnare arbitrariamente una certa quantità di "quadratini" (che così possono esser disegnati facilmente dai ragazzini) ad una delle incognite da trovare.
È analogo al metodo della "falsa posizione" che era usato dagli antichi per risolvere le equazioni quando ancora le equazioni non si conoscevano .
Come sostituto delle equazioni funziona sempre però se hai dei numeri "bastardi" come in questo caso non è semplice per i ragazzini (ma non per i grandi ... vabbè, si scherza)

Comunque, dato che dividere dei quadratini non è semplice, l'incognita da scegliere di solito è quella più piccola o che vada moltiplicata; in questo caso prenderei il terzo angolo, lo prenderei dispari dato che poi va sommato/sottratto ad un numero dispari ($13$) che poi andrà diviso ("metà")
Quindi poniamo che il terzo angolo sia "lungo" $27$ quadratini allora il secondo è il triplo del terzo (quindi $81$ quadratini) al quale però devo sottrarre $13$ quadratini, per un totale quindi di $68$ quadratini.
Il primo è la metà del secondo (quindi $34$ quadratini) a cui ne vanno aggiunti $10$, in totale $44$.
Se li sommo ottengo $139$: troppi.
Quindi riprovo con $25$ invece di $27$ e così via finché arrivo alla soluzione giusta che è $21$ (per il terzo angolo)

Sono fermamente convinto che @melia possa fare molto meglio …

Cordialmente, Alex

[Vidocq]

Anche questo metodo, se pur validissimo, mi sembra complicato per il tipo di problema assegnato.

Sono curioso di leggere la soluzione proposta dal testo, se esiste.

[StellaMartensitica]

A me non l'avevano mai insegnato.

Grazie della spiegazione.

"axpgn":ma non per i grandi

https://youtu.be/K_blL4xt6q0

[axpgn]

@Vidocq
In generale questo è uno dei metodi più utilizzati a quel livello ed è compreso bene dai ragazzini di quell'età; in questo caso la difficoltà è data dai numeri effettivamente usati che non si prestano bene
Strano che sia di prima media ...

[Vidocq]

Mi riferisco ai numeri, infatti. Andando per tentativi si rischia di far annoiare il ragazzino.

Ho cercato su internet. E' un problema che "gira" da almeno 12-13 anni (tutti chiedono aiuto! please, prima media e tutti rispondono con sistemi ed equazioni differenziali. ).

[StellaMartensitica]

Sarà opera di quel libro pulcioso che avevo anch'io della Zanichelli "Matematica in azione".

[axpgn]

"Vidocq":... e tutti rispondono con sistemi ed equazioni differenziali. ).

Comunque, di solito non si va per tentativi: o il problema è proprio del tipo "falsa posizione" e quindi quando si giunge alla prima soluzione poi si usano le proporzioni oppure (e sono i casi più frequenti) i quadratini rappresentano un multiplo della quantità cercata o tutti e due

Ma confido in @melia che era nei dintorni ma poi è sparita

Cordialmente, Alex

[filippo51]

Le equazioni non le hanno ancora fatte a scuola

[@melia]

"axpgn":
Ma confido in @melia che era nei dintorni ma poi è sparita

Cordialmente, Alex

@melia è sparita perché risolvere questo problema con i "quadratini" è un delirio. Speravo in qualche idea più originale e più semplice.

"filippo51":Vorrei cercare di spiegare a una bambina di 1a media nel modo pù semplice questo problema:
Un angolo è la meta' più 10 del secondo, il quale è il triplo meno 13 del terzo e il totale è 106.

Grazie

Un angolo è la meta' più 10 del secondo sarebbe $p=1/2s+10$
Il secondo è il triplo meno 13 del terzo sarebbe $s=3t-13$
Dobbiamo lavorare simulando le equazioni, ma senza usarle, per un problema di questo tipo è difficile provo
Parto dal terzo angolo e lo rappresento con un segmento maggiore di 5 quadretti, lo sottolineo in rosso.
Il secondo angolo è formato da un segmento triplo del precedente al quale devo togliere 13 quadretti.
Il primo angolo è la metà del secondo a cui vanno aggiunti 10 quadretti
La somma totale è data da $t+3t-13+1/2(3t-13)+10=11/2 t-19/2$
A questo punto so che $11/2 t=19/2+106$ e la piccola, se ha resistito fino a qui, lo può finire da sola.

[axpgn]

Beh, a 'sto punto siamo curiosi di sapere da dove proviene questo problema (e se veramente era destinato ad uno scolaro di prima media): libro? professoressa? web?

[Vidocq]

Come dicevo, sono curioso di conoscere la soluzione originale del problema.

"axpgn":Beh, a 'sto punto siamo curiosi di sapere da dove proviene questo problema

Ieri sera ho cercato su internet: il problema è stato assegnato diverse volte a diversi ragazzini di prima media...

[axpgn]

Dallo stesso insegante nella stessa classe …

[Vidocq]

L'autore del thread potrebbe indicarci il testo di riferimento.

Ho trovato questa risposta.
Come vi sembra?

[StellaMartensitica]

Se Yahoo avesse le formule sarebbe stato chiamato Houyhnhnm.

[axpgn]

Meglio la mia , questa la trovo un pochino incasinata … IMHO

Anche questa risposta usa i "quadratini" (che sono la stessa cosa dei "segmentini" e via dicendo"); nella mia, diversamente da questa, non ho voluto ricavare il valore del singolo quadratino (che è quello che si fa normalmente e che ha fatto l'utente nel link) perché avrei ottenuto un valore "brutto" e quindi ho preferito proseguire per tentativi con lo stesso metodo …

In definitiva, non è un problema da dare in prima media …

[Vidocq]

Il ragionamento potrebbe andare, ma si cade nello stesso problema dei "quadratini": azzeccare il numero di segmenti giusti per risolvere il problema

E' un problema complicato per ragazzini di prima media, hai ragione.