Potreste risolvermi questo problema di geometria di terza media? scritto sotto.
Una piramide ha per base un rombo in cui la somma delle diagonali è 140 mm e la diagonale minore è 3/4 della maggiore.Calcola l'area totale del solido ed il volume sapendo che l'altezza della piramide è 9/10 dello spigolo di base.
Risposte
Il problema ci dice che le diagonali sono una i 3/4 dell'altra e che la loro somma è di 140 mm. Disegniamo due segmenti che rappresentino le diagonali:
A|----|----|----|C
B|----|----|----|----|D
Come vedi il primo è formato da 3 segmentini più piccoli e della stessa lunghezza, le unità frazionarie, che invece sono 4 nel secondo. Se sommiamo AB e CD otteniamo un segmento formato da 7 unità.
A|----|----|----|CB|----|----|----|----|D = 140 mm
Ora però dobbiamo conoscere il valore dell'unità frazionaria:
uf = (AB + CD) : 7 = mm 140 : 7 = 20 mm
Quindi:
AB = uf * 3 = mm 20 * 3 = 60 mm
CD = uf * 4 = mm 20 * 4 = 80 mm
A questo punto puoi calcolare l'area di base. Il risultato è 2400 mmq.
Ora passiamo all'altezza. Il problema ci dice che è lunga quanto i 9/10 dello spigolo di base. Un momento: non sappiamo quanto misura lo spigolo di base! Ma possiamo calcolarlo. Se in un rombo tracci le diagonali lo dividerai in quattro triangoli rettangoli. Ognuno avrà:
- come cateto minore la metà della diagonale minore;
- come cateto maggiore la metà della diagonale maggiore;
- come ipotenusa il lato obliquo, cioè lo spigolo di base della piramide.
A questo punto applichiamo Pitagora:
Quindi l'altezza VO della piramide sarà lunga 45 mm. Anche qui ho saltato il passaggio per lasciare il calcolo a te. ;)
A questo punto calcola il volume. La formula è questa:
Adesso viene la parte un po' più difficile. Per conoscere la superficie totale della piramide ci serve l'area laterale. La formula per il calcolo dell'area laterale è questa:
Il perimetro di base è lungo 200 mm, ma l'apotema? Una delle formule che si usano per calcolare questa misura è la seguente, dove si applica Pitagora:
Abbiamo l'altezza, ma non il raggio della circonferenza inscritta. Posto un disegno per farti capire meglio.
La circonferenza inscritta è quella che si trova all'interno del rombo e ne tocca i lati. Ad essere precisi dovrebbe toccare un solo punto di ciascun lato. ;) Devi sapere che l'area di un poligono che può contenere una circonferenza di questo tipo si può calcolare così:
Da cui ricavi:
Esegui il calcolo ed otterrai come risultato 24 mm.
In alternativa ci sono il primo e il secondo teorema di Euclide, che ovviamente devi applicare su uno dei triangoli rettangoli del rombo, ma il procedimento si allungherebbe un po'. ;)
Adesso puoi calcolare l'apotema. Riscrivo le formule che dovrai usare per completare il problema qui sotto:
Ed ovviamente ricordati dei passaggi che ho saltato qua e là nel problema. Le cose un po' più semplici preferivo lasciarle a te. ;) Ciao! :)
A|----|----|----|C
B|----|----|----|----|D
Come vedi il primo è formato da 3 segmentini più piccoli e della stessa lunghezza, le unità frazionarie, che invece sono 4 nel secondo. Se sommiamo AB e CD otteniamo un segmento formato da 7 unità.
A|----|----|----|CB|----|----|----|----|D = 140 mm
Ora però dobbiamo conoscere il valore dell'unità frazionaria:
uf = (AB + CD) : 7 = mm 140 : 7 = 20 mm
Quindi:
AB = uf * 3 = mm 20 * 3 = 60 mm
CD = uf * 4 = mm 20 * 4 = 80 mm
A questo punto puoi calcolare l'area di base. Il risultato è 2400 mmq.
Ora passiamo all'altezza. Il problema ci dice che è lunga quanto i 9/10 dello spigolo di base. Un momento: non sappiamo quanto misura lo spigolo di base! Ma possiamo calcolarlo. Se in un rombo tracci le diagonali lo dividerai in quattro triangoli rettangoli. Ognuno avrà:
- come cateto minore la metà della diagonale minore;
- come cateto maggiore la metà della diagonale maggiore;
- come ipotenusa il lato obliquo, cioè lo spigolo di base della piramide.
A questo punto applichiamo Pitagora:
[math]AB = \sqrt{(\frac{AB} {2})^2 + (\frac{CD} {2})^2} = \sqrt{(\frac{\no{60}^{30}} {\no2^1})^2 + (\frac{\no{80}^{40}} {\no2^1})^2} = \sqrt{30^2 + 40^2} = \\= \sqrt{900 + 1600} = \sqrt{2500} = 50\;mm[/math]
Quindi l'altezza VO della piramide sarà lunga 45 mm. Anche qui ho saltato il passaggio per lasciare il calcolo a te. ;)
A questo punto calcola il volume. La formula è questa:
[math]V = \frac{A_b * h} {3}[/math]
Adesso viene la parte un po' più difficile. Per conoscere la superficie totale della piramide ci serve l'area laterale. La formula per il calcolo dell'area laterale è questa:
[math]A_l = \frac{p_b * a} {2}[/math]
Il perimetro di base è lungo 200 mm, ma l'apotema? Una delle formule che si usano per calcolare questa misura è la seguente, dove si applica Pitagora:
[math]a = \sqrt{h^2 + r_i^2}[/math]
Abbiamo l'altezza, ma non il raggio della circonferenza inscritta. Posto un disegno per farti capire meglio.
La circonferenza inscritta è quella che si trova all'interno del rombo e ne tocca i lati. Ad essere precisi dovrebbe toccare un solo punto di ciascun lato. ;) Devi sapere che l'area di un poligono che può contenere una circonferenza di questo tipo si può calcolare così:
[math]A_b = \frac{p_b * r_i} {2}[/math]
. Da cui ricavi:
[math]r_i = \frac{2*A_b} {200}[/math]
Esegui il calcolo ed otterrai come risultato 24 mm.
In alternativa ci sono il primo e il secondo teorema di Euclide, che ovviamente devi applicare su uno dei triangoli rettangoli del rombo, ma il procedimento si allungherebbe un po'. ;)
Adesso puoi calcolare l'apotema. Riscrivo le formule che dovrai usare per completare il problema qui sotto:
[math]V = \frac{A_b * h} {3}[/math]
[math]a = \sqrt{h^2 + r_i^2}[/math]
[math]A_l = \frac{p_b * a} {2}[/math]
Ed ovviamente ricordati dei passaggi che ho saltato qua e là nel problema. Le cose un po' più semplici preferivo lasciarle a te. ;) Ciao! :)
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