Numeri consecutivi - urgente

[ANDREA19691]

matilde scrive una lunghissima serie di numeri che inizia così 2 0 1 8. fa in modo che scelti a caso cinque numeri consecutivi della serie essi diano sempre come somma 18. quale cifra occuperà la duemiladiciottesima posizione della serie ?

[gugo82]

Idee tue?

Se non riesci subito a trovare la cifra duemiladiciottesima, prova con qualche numero più piccolo: ad esempio, qual è la settima cifra? E la nona cifra? La dodicesima cifra? E la diciottesima? E la cinquantatreesima?
Qual è la regola generale per determinare la cifra di posto assegnato?

[ANDREA19691]

scusami ma non ho capito la risposta...sto cercando di risolvere il problema e non riesco.....

[@melia]

Qual è il quinto numero della serie se la somma dei primi 5 numeri deve valere 18?

[gugo82]

Riprendo il discorso perché il problema è davvero simpatico.

Chiaramente la quinta cifra della successione è $7$, dunque:
\[
\begin{align*}
1 & & 2 & & 3 & & 4 & & 5 \\
\downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow \\
2 & & 0 & & 1 & & 8 & & 7
\end{align*}
\]
e continuando la sequenza si vede che il vincolo $"somma di " 5 " cifre consecutive" = 18$ fa in modo che le cifre già trovate si ripetano alternandosi sempre allo stesso modo a blocchi:
\[
\begin{align*}
6 & & 7 & & 8 & & 9 & & 10 \\
\downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow \\
2 & & 0 & & 1 & & 8 & & 7
\end{align*}
\]
poi:
\[
\begin{align*}
11 & & 12 & & 13 & & 14 & & 15 \\
\downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow \\
2 & & 0 & & 1 & & 8 & & 7
\end{align*}
\]
etc...

Guardando i tre blocchi iniziali ci rendiamo conto del fatto che la cifra $7$ occupa i posti indicati dai multipli di $5$ ($5$, $10$, $15$, etc...), mentre le rimanenti cifre $2$, $0$, $1$ ed $8$ occupano rispettivamente i posti indicati da numeri che divisi per $5$ danno resto $1$, $2$, $3$ e $4$. Ad esempio, visto che $13\div 5$ dà resto $3$, il posto $13$ è occupato dalla cifra $1$; ed analogamente, visto che $11\div 5$ dà resto $1$, il posto $11$ è occupato dalla cifra $2$.

Possiamo puntare a generalizzare questa regola:

Il posto $n$ della sequenza è occupato da:

[*:445rhd97] $7$ se $n$ è un nultiplo di $5$;

[/*:m:445rhd97]
[*:445rhd97] $2$ se $n\div 5$ dà resto $1$;

[/*:m:445rhd97]
[*:445rhd97] $0$ se $n\div 5$ dà resto $2$;

[/*:m:445rhd97]
[*:445rhd97] $1$ se $n\div 5$ dà resto $3$;

[/*:m:445rhd97]
[*:445rhd97] $8$ se $n\div 5$ dà resto $4$[/*:m:445rhd97][/list:u:445rhd97]

A questo punto, proviamo a vedere se funziona: $18\div 5$ dà resto $3$, quindi la diciottesima cifra della sequenza dovrebbe essere $1$. Controlliamo andando a costruire il blocco che ci interessa:
\[
\begin{align*}
16 & & 17 & & 18 & & 19 & & 20 \\
\downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow \\
2 & & 0 & & 1 & & 8 & & 7
\end{align*}
\]
e ci rendiamo conto che tutto è OK.

Usiamo infine la regola ricavata sopra per rispondere al quesito.
Dato che $2018 div 5$ dà resto $3$, la duemiladiciottesima cifra della sequenza è (di nuovo) $1$.