Non riesco a risolvere questo problem e domani ho la verifica! :(

[DJGalu]

Il problema è questo:
Una piramide retta ha per base un rombo la cui area misura 1536 cm². Sapendo che una diagonale è i 24/32 dell'altra e che l'altezza della piramide è uguale all'altezza di un parallelepipedo rettangolo che ha le due dimensioni di base e il volume rispettivamente di 42 cm, 30 cm e 32256 cm³, calcola l'area della superficie totale e il volume della piramide.
Grazie e in anticipo!

[Ali Q]

Ecco a te....

A(tot) piramide = A(lat) + A(base)
A(lat) = perimetro x apotema/2
A(base) = 1536 cm^2

V(piramide) = area base x altezza/3 = 1536 x h/3 = 512 x h

Per poter calcolare A(tot) e V dobbiamo dunque conoscere:
1) perimetro di base (e quindi lato del rombo)
2) Apotema
3) altezza

Vediamo come....

A(base) = D x d/2 = 1536 cm^2
D x d = 1536 x 2 = 3072 cm^2

Sappiamo che d=24/32D. Quindi l'espressione diventa...
D x d = 24/32D x D = 3072
24/32 D^2 = 3072
D^2 = 3072 x 32/24 = 4096 cm^2
D = radice di 4096 = 64 cm

Ricordando che d = 24/32 x D ottengo: d = 24/32 x 64 = 48 cm

Ora, nel rombo le diagonali lo dividono in quattro triangoli rettangoli, che hanno per cateti le metà delle due diagonali (32 e 24 cm, quindi) e per ipotenusa il lato del rombo. Troviamo dunque il lato del rombo con il teorema di Pitagora:
L = radice di (32^2 + 24^2) = radice di (1024 + 576) = radice di (1600) = 40 cm

Perimetro rombo = 4 x L = 4 x 40 = 160 cm

Trovimao adesso l'altezza della piramide:
V(parallelepipedo) = 42 x 30 x altezza = 32256 cm^3
altezza = V/(42 x 30) = 32256/(42 x 30) = 25, 6 cm

Non resta che calcolare l'apotema.

L'apotema è all'interno della piramide l'ipotenusa di un triangolo rettangolo che ha come cateti l'altezza della piramide e l'apotema di base.
L'apotema di base è facilmente calcolabile in qualsiasi poligono. Vale infatti che:
Area poligono = Ap(base) x perimetro/2
Ap(base) = 2 x Area poligono/perimetro = 2 x 1536/160 = 19,2 cm

Una volta noto anche l'apotema di base, l'apotema della piramide si ricava grazie al teorema di PItagora:
a = radice di (h^2 + ap(base)^2) = radice di (25,6^2 + 19,2^2) = radice di (655,36 + 368,64) = radice di (1024) = 32 cm

A questo punto....
A(tot) piramide = A(lat) + A(base)
A(lat) = perimetro x apotema/2 = 160 x 32/2 = 2560 cm^2
A(base) = 1536 cm^2
A(tot) = 2560 + 1536 = 4096 cm^2

V(piramide) = area base x altezza/3 = 1536 x h/3 = 512 x h = 512 x 25,6 = 13107,2 cm^2

Fine. Se ci fosse qualche erroretto di calcolo o avessi dei dubbi riguardo la soluzione, fammelo sapere. Ciao!

[DJGalu]

Grazie milleeeeeeeeeeeeee!!!!!!!!!!!!!!!!!! :)