Mi sapete risolvere questi problemi?

[DOCTOR WHO]

ok ragazzi siccome io sono un'asino :scratch a geometria e non riesco a risolvere questi problemi che mi hanno detto di risolvere e se non lo faccio il prof mi mette "4" chiedo a voi geniacci di aiutarmi plase.
e potete spiegarmi che procedimento ci vuole grazie.
e non mi dite cerca tra gli appunti o _cerca_ che non ho trovato niente.
allora:
un prisma quadrangolare regolare ha lo spigolo di base e laterale che misurano rispettivamente di 3cm e 8cm. calcolare le diagonale del prisma, la superficie laterale e totale. sapendo che il prisma è equivalente a una piramide quadrangolare regolare avente l'altezza di 12cm, calcolare la superficie laterale e totale della piramide. il prisma ha peso specifico di 6,2 calcola il perso.

[strangegirl97]

Cominciamo scrivendo i dati:

Prisma:
- è un prisma quadrangolare regolare, quindi a base quadrata
-

[math]l_{prisma} = 3\;cm[/math]

(spigolo di base)
-

[math]h_{prisma} = 8\;cm[/math]

(spigolo laterale)
- ps = 6,2 (peso specifico)

Piramide:
- è una piramide quadrangolare regolare, quindi a base quadrata;
- è equivalente al prisma, cioè ha lo stesso volume;
-

[math]h_{piramide}=12\;cm[/math]

E adesso a noi due, problema! XD Iniziamo dal prisma
La prima cosa che ci chiede il problema è calcolare la diagonale. Per farlo basta elevare al quadrato le tre dimensioni (lunghezza, larghezza, altezza), sommare i quadrati ed estrarre la radice quadrata. Difficile? Macché!

[math]d = \sqrt{l^2 + l^2 + h^2} = \sqrt{3^2+3^2+8^2} = \sqrt{9+9+64} = \sqrt{82} = 9,05\;cm[/math]

Il risultato è approssimato.

Ora calcoliamo il perimetro della base:
p = l * 4 = cm 3 * 4 = 12 cm

E adesso è la volta dell'area laterale:

[math]A_l = p * h = cm\;12 * 8 = 96\;cm^2[/math]

Ora tocca all'area di base:

[math]A_b = l^2 =cm\;3^2 = 9\;cm^2[/math]

E a quella totale:

[math]A_t = A_l + 2*A_b = cm^2\;96 + 2*9 = cm^2\;96 + 18 = 114\;cm^2[/math]

E adesso passiamo al volume, che ci servirà per calcolare il peso e, più tardi con la piramide:

[math]V = A_b * h = cm^2\;9*8 = 72\;cm^3[/math]

Questa è la formula per calcolare il peso:

[math]P = V * ps[/math]

Lascio a te il calcolo. ;)

Ora concentriamoci sulla piramide. Sappiamo che è equivalente al prisma, cioè che ha il suo stesso volume. Di norma il volume della piramide si calcola così:

[math]V = \frac{A_b * h} {3}[/math]

Da cui ricavi:

[math]A_b = \frac{3 * V} {h} = \frac{3*\no{72}^6} {\no{12}^1} = 18\;cm[/math]

Quindi:

[math]l = \sqrt{A_b} = \sqrt{18} = 4,2\;cm[/math]

Ora bisogna calcolare il raggio della circonferenza inscritta, cioè di quella circonferenza che si trova dentro la base e tocca i suoi quattro lati. Nel quadrato questo raggio misura la metà del lato, quindi:
r = l : 2 = cm 4,2 : 2 = 2,1 cm

Ora calcoliamo l'apotema, che è l'altezza di ciascuno dei triangoli che formano la piramide:

[math]a = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{2,1^2 + 12^2} = \sqrt{4,41 + 144} = \sqrt{148,41} = 12,18\;cm[/math]

E adesso il perimetro di base:
p = 4 * l = cm 4 * 4,2 = 16,4 cm
Adesso calcoliamo l'area laterale e quella totale:

[math]A_l = \frac{p*a} {2} = \frac{16,4*12,18} {2} = \frac{\no{199,752}^{99,876}} {\no2^1} = 99,876\;cm^2[/math]

[math]A_t=A_l + A_b =cm^2\;99,876 + 18 = 117,876\;cm^2[/math]