Le seguenti operazioni sono sempre verificate ?

[Susannap1]

Le seguenti operazioni sono sempre verificate ?


1) $a +b = c$ ----------> $ka +kb = kc$

Esempio con $k=3$
$2 +3 = 5$ ----------> $(3*2) + (3*3) = 3*5$


2) $a * b = c$ ----------> $(ka) * (kb) != kc $

Esempio $k=3$
$2 *3 = 6$ ----------> $(3*2) * (3*3) != 3*6$

[garnak.olegovitc1]

Salve Susannap,

"Susannap":


1) $a +b = c$ ----------> $ka +kb = kc$

Esempio con $k=3$
$2 +3 = 5$ ----------> $(3*2) + (3*3) = 3*5$

questo mi sembra, possiamo dire, essere uno dei due principi di equivalenza, però dovresti almeno specificare in quale insieme numerico ti trovi.
Cordiali saluti

[Susannap1]

Ciao garnak. , siamo in N .

la numero 2 non è mai verificata oppure ci sono alcuni eccezioni ?

[Gi81]

Se $k=0$ oppure $k=1$ la numero 2 è verificata

[Susannap1]

"Gi8":Se $k=0$ oppure $k=1$ la numero 2 è verificata

Se $k=0$ oppure $k=1$ la numero 2 non è mai verificata

però ho capito cosa intendi dire .. facevi riferimento alle eventuali eccezioni ..
ma cosi non vale .. quelle sarebbere soluzioni banali .

Secondo te perchè non ammette (o ammetterebbe) altre soluzioni ?
e perchè , invece ,la 1 è sempre verificata ?
in pratica per quale motivo il principio di equivalenza è applicabile all'addizione e non alla moltiplicazione (un parere personle tuo) ..

[Gi81]

Nessun parere personale, si dimostra (anche abbastanza comodamente).

Abbiamo l'ipotesi che $ab=c$ in $NN$.
Ci chiediamo per quali $k in NN$ si ha che vale anche $(ka)(kb)=kc$, cioè $k^2 ab= kc$.

poichè per ipotesi $ab=c$, l'ultima equazione si può riscrivere $k^2c=kc$

Se $c!=0$ possiamo dividere per $c$ ambo i membri, ottenendo $k^2=k$
Quindi ci sono due soluzioni: $k=0$ e $k=1$

Se invece $c=0$ ci sono infinite soluzioni, cioè qualunque $k in NN$ verifica l'equazione
(il motivo è che se $c=0$ allora almeno uno tra $a $ e $b$ è $0$, quindi l'equazione $(ka)(kb)=kc$ equivale a $0=0$, $AA k in NN$)