Ipotenusa di un triangolo rettangolo isoscele
Salve a tutti!
Sto impazzendo cercando di risolvere un problemino di cui mi ha parlato un amico (mi ha chiesto una mano perché fa' doposcuola a sua cuginetta di prima media)... sono arrivato al punto che non riesco più a concentrarmi sul mio studio perché ciclicamente il mio pensiero va al maledetto triangolo rettangolo isoscele
Credo che a breve non dormirò più la notte!!!
Il problema è il seguente, provvederò in seguito a fornire i dati numerici, che comunque contano relativamente:
Nota l'area di un triangolo rettangolo isoscele, calcolarne l'ipotenusa e l'altezza.
Due possibili soluzioni mi sono immediatamente venute in mente e chiaramente sono risultate corrette, la prima parte è in comune:
Un triangolo rettangolo isoscele è la metà di un quadrato. Dunque:
- raddoppio la nota area del triangolo rettangolo isoscele e ottengo l'area del relativo quadrato
- facendo la radice quadrata dell'area ottengo il lato del quadrato
Da qui due strade possibili:
1) la diagonale del quadrato (ossia l'ipotenusa che andiamo cercando) è lato per radice di 2
oppure
2) sfrutto il teorema di pitagora e ricavo l'ipotenusa
Tuttavia pare che la prima soluzione non sia accettabile in quanto a scuola media non trattano i radicali e radice di 2 chiaramente lo è... anche se si tratta di una formuletta nota (quella di lato per radice di 2).
La seconda soluzione non va bene ugualmente perché non hanno ancora studiato il teorema di pitagora... anche qui ho seri dubbi onestamente.
Mi chiedo dunque come sia possibile risolvere tale problemino come un bimbo di prima media....
Sto impazzendo cercando di risolvere un problemino di cui mi ha parlato un amico (mi ha chiesto una mano perché fa' doposcuola a sua cuginetta di prima media)... sono arrivato al punto che non riesco più a concentrarmi sul mio studio perché ciclicamente il mio pensiero va al maledetto triangolo rettangolo isoscele
Credo che a breve non dormirò più la notte!!!
Il problema è il seguente, provvederò in seguito a fornire i dati numerici, che comunque contano relativamente:
Nota l'area di un triangolo rettangolo isoscele, calcolarne l'ipotenusa e l'altezza.
Due possibili soluzioni mi sono immediatamente venute in mente e chiaramente sono risultate corrette, la prima parte è in comune:
Un triangolo rettangolo isoscele è la metà di un quadrato. Dunque:
- raddoppio la nota area del triangolo rettangolo isoscele e ottengo l'area del relativo quadrato
- facendo la radice quadrata dell'area ottengo il lato del quadrato
Da qui due strade possibili:
1) la diagonale del quadrato (ossia l'ipotenusa che andiamo cercando) è lato per radice di 2
oppure
2) sfrutto il teorema di pitagora e ricavo l'ipotenusa
Tuttavia pare che la prima soluzione non sia accettabile in quanto a scuola media non trattano i radicali e radice di 2 chiaramente lo è... anche se si tratta di una formuletta nota (quella di lato per radice di 2).
La seconda soluzione non va bene ugualmente perché non hanno ancora studiato il teorema di pitagora... anche qui ho seri dubbi onestamente.
Mi chiedo dunque come sia possibile risolvere tale problemino come un bimbo di prima media....
Risposte
Non sapendo cosa hanno studiato è difficile dare una risposta anche se il calcolo della radice quadrata nelle medie si fa (non saprei se già in prima ...).
Premesso questo l'area del triangolo è base per altezza diviso due e siccome la base e l'altezza sono uguali per trovare il lato basta la radice quadrata.
Per l'ipotenusa occorre un pizzico di furbizia in più ... se prendiamo come base l'ipotenusa, la relativa altezza è metà dell'ipotenusa (osserva il tuo quadrato ...) e da qui si torna ancora alla radice quadrata ...
Cordialmente, Alex
Premesso questo l'area del triangolo è base per altezza diviso due e siccome la base e l'altezza sono uguali per trovare il lato basta la radice quadrata.
Per l'ipotenusa occorre un pizzico di furbizia in più ... se prendiamo come base l'ipotenusa, la relativa altezza è metà dell'ipotenusa (osserva il tuo quadrato ...) e da qui si torna ancora alla radice quadrata ...
Cordialmente, Alex
Non fanno rigorosamente i radicali, ma le radici quadrate sì, non solo, ha anche le tavole per calcolarle. Quindi la radice dell'area è l'altezza relativa all'ipotenusa e l'ipotenusa è il suo doppio.
Forse non sono stato chiaro nell'esporre il problema in quanto non riesco a ritrovarmi con quello che avete detto, quantomeno in parte.
Vi allego innanzitutto una figura fatta con Paint per avere chiara la situazione:
http://i.imgur.com/NJKQIxU.png
Non capisco perché i tag non funzionino, quindi l'embed dell'immagine non va.
Comunque: il mio rettangolo è quello nero in figura. Di questo rettangolo ho l'area e voglio ricavare l'ipotenusa, i, e l'altezza ad essa relativa, h.
Se faccio 2 volte l'area ottengo quella del quadrato avente lato L.
Quindi, facendone la radice quadrata (operazione nota anche in prima media) ottengo proprio il lato L.
Mi è chiaro che l'ipotenusa i è il doppio dell'altezza ad essa relativa h (in quanto quest'ultima non è altro che metà diagonale del quadrato).
Quello che non mi è chiaro è come faccio a ricavare l'ipotenusa senza pitagora però
Vi allego innanzitutto una figura fatta con Paint
per avere chiara la situazione:http://i.imgur.com/NJKQIxU.png
Non capisco perché i tag non funzionino, quindi l'embed dell'immagine non va.
Comunque: il mio rettangolo è quello nero in figura. Di questo rettangolo ho l'area e voglio ricavare l'ipotenusa, i, e l'altezza ad essa relativa, h.
Se faccio 2 volte l'area ottengo quella del quadrato avente lato L.
Quindi, facendone la radice quadrata (operazione nota anche in prima media) ottengo proprio il lato L.
Mi è chiaro che l'ipotenusa i è il doppio dell'altezza ad essa relativa h (in quanto quest'ultima non è altro che metà diagonale del quadrato).
Quello che non mi è chiaro è come faccio a ricavare l'ipotenusa senza pitagora però
Ma te l'abbiamo detto in due ... 
Se prendi l'ipotenusa come base del triangolo allora l'area del triangolo sarà $A=(bh)/2\ =>\ A=(2h*h)/2=h^2$ quindi dato che hai l'area basta che calcoli la radice quadrata dell'area per trovare l'altezza relativa all'ipotenusa (e poi quest'ultima).
Cordialmente, Alex
Se prendi l'ipotenusa come base del triangolo allora l'area del triangolo sarà $A=(bh)/2\ =>\ A=(2h*h)/2=h^2$ quindi dato che hai l'area basta che calcoli la radice quadrata dell'area per trovare l'altezza relativa all'ipotenusa (e poi quest'ultima).
Cordialmente, Alex
Ah ecco. Ora è chiarissimo anche a me, grazie.
Impostata così mi sembra un'equazione però... come gli spiego quei passaggi, con tanto di quadrato.
Posso provare a proporla e vediamo che mi dice, si tratta di passaggi con le formulette già note, ma la parte finale mi preoccupa con h^2 e annessa radice.
In ogni caso altre soluzioni più semplici non mi sembra ce ne siano...
Impostata così mi sembra un'equazione però... come gli spiego quei passaggi, con tanto di quadrato.
Posso provare a proporla e vediamo che mi dice, si tratta di passaggi con le formulette già note, ma la parte finale mi preoccupa con h^2 e annessa radice.
In ogni caso altre soluzioni più semplici non mi sembra ce ne siano...
"claw91":
Impostata così mi sembra un'equazione però...
Perché la formula "Area uguale base per altezza diviso due" non è un'equazione? L'ho scritta così per esser chiaro con te ma tu gliela spiegherai con parole tue ...
Non è un'equazione perché non c'è l'incognita...dico bene?
Pertanto è una semplice uguaglianza in cui ricavare il dato che ci interessa con manipolazioni del tutto simili a quelle delle formule inverse.
Provo a spiegarlo così sperando vada bene...
Inviato dal mio Nexus 5
Pertanto è una semplice uguaglianza in cui ricavare il dato che ci interessa con manipolazioni del tutto simili a quelle delle formule inverse.
Provo a spiegarlo così sperando vada bene...
Inviato dal mio Nexus 5
"claw91":
Non è un'equazione perché non c'è l'incognita...dico bene?
Come "non c'è l'incognita" ?
Quella formula la usi per trovare l'area del triangolo (oppure la base o l'altezza): quando li conosci tutti e tre che ne te fai della formula?
Cordialmente, Alex
L'incognita è ovviamente l'ipotenusa.
Mi sono espresso male... per incognita intendevo erroneamente la "x" presente in un'equazione, in relazione al fatto che un bambino di prima media non può sapere come risolverla.
Quella da te proposta è una semplice uguaglianza, non un'equazione, quindi si tratta semplicemente di usare le formule inverse che ben sanno manipolare.
Mi sono espresso male... per incognita intendevo erroneamente la "x" presente in un'equazione, in relazione al fatto che un bambino di prima media non può sapere come risolverla.
Quella da te proposta è una semplice uguaglianza, non un'equazione, quindi si tratta semplicemente di usare le formule inverse che ben sanno manipolare.
Buona sera,
forse sono in ritardo.
Visti i vs post tutti validi,
per calcolare l'ipotenusa, io proverei a spiegala così.
Prima di tutto non troverei il cateto, perchè non richiesto.
poi
$At=ixxi/2xx1/2$
da cui
$2xxAt=ixxi/2$
$2xxAt=i ^2/2$
$i ^2=4At$
$i=sqrt(4xxAt)$
L'ipotenusa di un triangolo come enunciato è uguale alla radice quadrata del quadruplo dell'area (nuovo teorema? Passerò alla storia?).
ciao a tutti
aldo
forse sono in ritardo.
Visti i vs post tutti validi,
per calcolare l'ipotenusa, io proverei a spiegala così.
Prima di tutto non troverei il cateto, perchè non richiesto.
poi
$At=ixxi/2xx1/2$
da cui
$2xxAt=ixxi/2$
$2xxAt=i ^2/2$
$i ^2=4At$
$i=sqrt(4xxAt)$
L'ipotenusa di un triangolo come enunciato è uguale alla radice quadrata del quadruplo dell'area (nuovo teorema? Passerò alla storia?).
ciao a tutti
aldo
Mi sembra che comunque alla fine sfrutti sempre il fatto che l'altezza relativa all'ipotenusa sia la metà proprio dell'ipotenusa.
Il discorso è semplificare il più possibile le manipolazioni algebriche perché stiamo sempre parlando di bambini di 11 anni al massimo!
Da questo punto di vista la soluzione proposta precedentemente richiede meno passaggi, ma sicuramente anche questa è una soluzione valida.
Se è anche un nuovo teorema non saprei XD!!!
Il discorso è semplificare il più possibile le manipolazioni algebriche perché stiamo sempre parlando di bambini di 11 anni al massimo!
Da questo punto di vista la soluzione proposta precedentemente richiede meno passaggi, ma sicuramente anche questa è una soluzione valida.
Se è anche un nuovo teorema non saprei XD!!!
Ciao claw 91, grazie di avermi risposto anche se ero in ritardo.
Il fatto che l'altezza sia proprio proprio la metà dell'ipotenusa, credo che un bambino di 11 anni debba capirlo, perchè basta spiegargli, come hai scritto tu, che il triangolo è la metà di un quadrato e che l'ipotenusa non è altro che la diagonale del quadrato, e le diagonali di un quadrato sono tra loro perpendicolari e si incrociano in un punto che le divide esattamente alla metà. Secondo me è proprio questo che l'insegnante voleva dai ragazzi.
Qui non ci sono manipolazioni algebriche, ma si tratta solo di applicare la formula dell' area di un triangolo rettangolo sia pure in forma inversa. ( tu hai scritto: "che ben sanno manipolare")
Tutte le soluzioni presentate sono valide e non c'entra il numero di passaggi, si tratta di trovare il modo che un ragazzo di undici anni farebbe. I passaggi ci sono tutti proprio perchè, secondo me, un ragazzo farebbe così. Cioè nel modo più semplice possibile anche se più lungo.
Scusa per la lungaggine.
ciao.
aldo
Il fatto che l'altezza sia proprio proprio la metà dell'ipotenusa, credo che un bambino di 11 anni debba capirlo, perchè basta spiegargli, come hai scritto tu, che il triangolo è la metà di un quadrato e che l'ipotenusa non è altro che la diagonale del quadrato, e le diagonali di un quadrato sono tra loro perpendicolari e si incrociano in un punto che le divide esattamente alla metà. Secondo me è proprio questo che l'insegnante voleva dai ragazzi.
Qui non ci sono manipolazioni algebriche, ma si tratta solo di applicare la formula dell' area di un triangolo rettangolo sia pure in forma inversa. ( tu hai scritto: "che ben sanno manipolare")
Tutte le soluzioni presentate sono valide e non c'entra il numero di passaggi, si tratta di trovare il modo che un ragazzo di undici anni farebbe. I passaggi ci sono tutti proprio perchè, secondo me, un ragazzo farebbe così. Cioè nel modo più semplice possibile anche se più lungo.
Scusa per la lungaggine.
ciao.
aldo
Ho letto solo ora il quesito e le risposte. Propongo un mio modo di spiegare il problema ad un/una bambino/a di 11 anni senza utilizzare particolari proprietà o teoremi.
Prova a disegnare il triangolo rettangolo con base l'ipotenusa. L'altezza, essendo il triangolo isoscele, è anche mediana e bisettrice. Da ciò discende che essa divide il triangolo di partenza in due triangoli isosceli.
Così è evidente che l'altezza è metà della base (ipotenusa del triangolo) ed il modo di calcolare l'una o l'altra che già è stato spiegato.
Nota: in prima media non conoscono il teorema di Pitagora nè sanno calcolare le radici quadrate, però sanno usare le tavole numeriche per calcolare quadrati, e, numeri conoscendo il loro quadrato o cubo.
Prova a disegnare il triangolo rettangolo con base l'ipotenusa. L'altezza, essendo il triangolo isoscele, è anche mediana e bisettrice. Da ciò discende che essa divide il triangolo di partenza in due triangoli isosceli.
Così è evidente che l'altezza è metà della base (ipotenusa del triangolo) ed il modo di calcolare l'una o l'altra che già è stato spiegato.
Nota: in prima media non conoscono il teorema di Pitagora nè sanno calcolare le radici quadrate, però sanno usare le tavole numeriche per calcolare quadrati, e, numeri conoscendo il loro quadrato o cubo.
"al_berto":
Ciao claw 91, grazie di avermi risposto anche se ero in ritardo [...]
Ma figurati! Anzi, grazie a te per avere espresso il tuo parere in merito!
Siamo assolutamente d'accordo sul reale punto su cui verte il problema
Anche dal mio punto di vista i passaggi algebrici proposti sono alla portata di un bambino di 11 anni.
"igiul":
Ho letto solo ora il quesito e le risposte. Propongo un mio modo di spiegare il problema ad un/una bambino/a di 11 anni senza utilizzare particolari proprietà o teoremi.
Prova a disegnare il triangolo rettangolo con base l'ipotenusa. L'altezza, essendo il triangolo isoscele, è anche mediana e bisettrice. Da ciò discende che essa divide il triangolo di partenza in due triangoli isosceli.
Così è evidente che l'altezza è metà della base (ipotenusa del triangolo) ed il modo di calcolare l'una o l'altra che già è stato spiegato.
Nota: in prima media non conoscono il teorema di Pitagora nè sanno calcolare le radici quadrate, però sanno usare le tavole numeriche per calcolare quadrati, e, numeri conoscendo il loro quadrato o cubo.
Mi hai messo una bella pulce nell'orecchio dicendo che non sanno calcolare le radici quadrate a meno di usare le tavole numeriche.... per un motivo molto semplice: credo di ricordare correttamente che l'area non fosse un quadrato perfetto, ma un numero con virgola a due cifre decimali
Ora la domanda è: sarà stato a loro idealmente consentito di usare la calcolatrice?! Perché se così non fosse tutte le soluzioni precedenti non andrebbero bene.
Il mistero si infittisce... ma una cosa è certa, ci stiamo discutendo più noi qui di quanto abbia in realtà fatto l'insegnante della bimba da cui è partito il problema.
"claw91":
Mi hai messo una bella pulce nell'orecchio dicendo che non sanno calcolare le radici quadrate a meno di usare le tavole numeriche.... per un motivo molto semplice: credo di ricordare correttamente che l'area non fosse un quadrato perfetto, ma un numero con virgola a due cifre decimali
Ora la domanda è: sarà stato a loro idealmente consentito di usare la calcolatrice?! Perché se così non fosse tutte le soluzioni precedenti non andrebbero bene.
Il calcolo della radice quadrata come anche il teoema di Pitagora si studia in seconda media, non credo che il programma sia cambiato negli ultimi anni. Tieni presente che con le tavole puoi anche calcolare radici o potenze di numeri decimali, basta giostrare con la virgola, se poi il numero non è nella colonna dei quadrati si fa un'approssimazione.
Far usare la calcolatrice, cosa che purtroppo fa perdere la dimestichezza con le tecniche di calcolo, dipende dal docente.
Io andrei col mio amico a chiedere per conto della cuginetta di prima media direttamente all'insegnate come avrebbe voluto risolto questo problemino...
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