Ipotenusa , cateto e teorema di Pitagora
Mi sono state poste le seguenti due domande con richiesta di motivare le risposte ;
1) Dati due triangoli rettangoli , $A$ e $B$ , avente in comune solo l'ipotenusa ,l'area del quadrato costruito sull'ipotenusa del triangolo $A$ è uguale alla somme delle aree dei quadrati costruiti sui cateti di $B$ (e viceversa) .
2) Dati due triangoli rettangoli , $A$ e $B$ , avente in comune solo un cateto ,l'area del quadrato costruito sul quel cateto comune del triangolo $A$ è uguale all'area del quadrato del ipotenusa meno l'area del quadrato costruito sul cateto non comune di $B$ (e viceversa) .
Alla domanda (1) sarei propensa ha rispondere che è impossibile che vi siano due triangoli rettangoli , $A$ e $B$ , avente in comune solo l'ipotenusa
perchè per il teorema di Pitagora $c^2 = a^2+b^2$ , l'ipotensusa è data da $c=sqrt(a^2 + b^2)$ , quindi se $A$ e $B$ hanno la stessa ipotenusa hanno per forza anche i due cateti uguali e dunque $A$ = $B$ ; solo se $A$ = $B$ la risposta è affermativa .
Alla domanda (2) sarei propensa a rispondere di si , ma non riesco a formulare una motivazione "convincente" ..
Voi cosa ne pensate ?
1) Dati due triangoli rettangoli , $A$ e $B$ , avente in comune solo l'ipotenusa ,l'area del quadrato costruito sull'ipotenusa del triangolo $A$ è uguale alla somme delle aree dei quadrati costruiti sui cateti di $B$ (e viceversa) .
2) Dati due triangoli rettangoli , $A$ e $B$ , avente in comune solo un cateto ,l'area del quadrato costruito sul quel cateto comune del triangolo $A$ è uguale all'area del quadrato del ipotenusa meno l'area del quadrato costruito sul cateto non comune di $B$ (e viceversa) .
Alla domanda (1) sarei propensa ha rispondere che è impossibile che vi siano due triangoli rettangoli , $A$ e $B$ , avente in comune solo l'ipotenusa
perchè per il teorema di Pitagora $c^2 = a^2+b^2$ , l'ipotensusa è data da $c=sqrt(a^2 + b^2)$ , quindi se $A$ e $B$ hanno la stessa ipotenusa hanno per forza anche i due cateti uguali e dunque $A$ = $B$ ; solo se $A$ = $B$ la risposta è affermativa .
Alla domanda (2) sarei propensa a rispondere di si , ma non riesco a formulare una motivazione "convincente" ..
Voi cosa ne pensate ?
Risposte
p.s. : l'ho scritta in questa sezione perchè dicono che sono cose da prima media ..
Per il primo quesito, è già dimostrato. Essendo l'ipotenusa di $A$ congruente all'ipotenusa di $B$, allora se le relazioni che valgono per la seconda valgono anche per la prima, e viceversa.
(1) è sbagliato. Prendi l'ipotenusa di 65, e i cateti del primo triangolo di 60 e 25, quelli del secondo di 52 e 39. E questo solo a voler restare nei numeri interi.
Se l'ipotenusa di A e quella di B coincidono, che tu prenda una o l'altra è la stessa cosa e quindi la somma dei quadrati dei cateti di B coincidono con il quadrato dell'ipotenusa di B che coincide con il quadrato dell'ugual ipotenusa di A. Prprietà transitiva dell'uguaglianza e teorema di Pitagora.
Per il secondo ho un problema di comprensione:
2) Dati due triangoli rettangoli , A e B , avente in comune solo un cateto ,l'area del quadrato costruito sul quel cateto comune del triangolo A è uguale all'area del quadrato del ipotenusa (di A o di B?) meno l'area del quadrato costruito sul cateto non comune di B (e viceversa) .
Se la risposta è che l'ipotenusa è quella di B allora è lo stesso del caso precedente perché se i triangoli hanno un cateto in comune questo è cateto sia di A che di B, e torni al teorema di Pitagora.
PS
Il teorema di Pitagora si fa in seconda media, non in prima.
Se l'ipotenusa di A e quella di B coincidono, che tu prenda una o l'altra è la stessa cosa e quindi la somma dei quadrati dei cateti di B coincidono con il quadrato dell'ipotenusa di B che coincide con il quadrato dell'ugual ipotenusa di A. Prprietà transitiva dell'uguaglianza e teorema di Pitagora.
Per il secondo ho un problema di comprensione:
2) Dati due triangoli rettangoli , A e B , avente in comune solo un cateto ,l'area del quadrato costruito sul quel cateto comune del triangolo A è uguale all'area del quadrato del ipotenusa (di A o di B?) meno l'area del quadrato costruito sul cateto non comune di B (e viceversa) .
Se la risposta è che l'ipotenusa è quella di B allora è lo stesso del caso precedente perché se i triangoli hanno un cateto in comune questo è cateto sia di A che di B, e torni al teorema di Pitagora.
PS
Il teorema di Pitagora si fa in seconda media, non in prima.
grz Abrason e graz a tutti voi .
grz grz @melia
.. cosi questa volta non mi faccio "canzonare" ..
@melia , in relazione al secondo quesito , l'ipotenusa è quella di $B$ , puoi farmi degli esempi numerici di questo caso (rimanendo tra gli interi .. altrimenti vado in tilt) ?
Senti , dammi una dritta per potermi rifare .. non può una donna farsi "battere" da un maschietto ..
Avrei intenzione di chiedergli il perchè $4^2$ e $2^4$ sono le uniche potenze (tra gli interi .. il resto lo ignoro) che invertendo la base con l'asponente da sempre lo stesso risultato .. al contrario delle altre potenze .. .. il problema è che se vuole spiegato il perchè dovrei dirgli che non lo sò neanche io 
p.s. : se si fa in seconda media .. sto solo 2 anni indietro (e non 3 )
grz grz @melia
.. cosi questa volta non mi faccio "canzonare"
..@melia , in relazione al secondo quesito , l'ipotenusa è quella di $B$ , puoi farmi degli esempi numerici di questo caso (rimanendo tra gli interi .. altrimenti vado in tilt) ?
Senti , dammi una dritta per potermi rifare .. non può una donna farsi "battere" da un maschietto ..
Avrei intenzione di chiedergli il perchè $4^2$ e $2^4$ sono le uniche potenze (tra gli interi .. il resto lo ignoro) che invertendo la base con l'asponente da sempre lo stesso risultato .. al contrario delle altre potenze ..
.. il problema è che se vuole spiegato il perchè dovrei dirgli che non lo sò neanche io p.s. : se si fa in seconda media .. sto solo 2 anni indietro (e non 3 )
Esempio numerico
A 12 e 9 i cateti e 15 l'ipotenusa;
B 12 e 16 i cateti e 20 l'ipotenusa.
Per le potenze $4^2=2^4$ tra i non interi ce ne sono altre, per una dimostrazione rigorosa credo che servano conoscenze ben al di sopra di quelle di scuola media, per una semplice spiegazione credo basti dire che le potenze non godono della proprietà associativa, per cui $a^(b^c) !=(a^b)^c=a^(b*c)$, negli interi l'unico caso in cui $b^c=b*c$ è quello in cui $b=c=2$
A 12 e 9 i cateti e 15 l'ipotenusa;
B 12 e 16 i cateti e 20 l'ipotenusa.
Per le potenze $4^2=2^4$ tra i non interi ce ne sono altre, per una dimostrazione rigorosa credo che servano conoscenze ben al di sopra di quelle di scuola media, per una semplice spiegazione credo basti dire che le potenze non godono della proprietà associativa, per cui $a^(b^c) !=(a^b)^c=a^(b*c)$, negli interi l'unico caso in cui $b^c=b*c$ è quello in cui $b=c=2$
Grandissima @melia .. basta già questo .. standing ovation for you
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