Geometria problema (61860)

[davidhino97]

un solido è costituito da un cubo avente lo spigolo lungo 24 cm e da due piramidi disuguali, con le basi coincidenti con due facce opposte del cubo. sapendo che l'area della superfice totale del solido è di 3984 cm quadrati e che il rapporto tra le aree laterali delle due piramidi è 3/4, calcola il volume del solido. aiutatemi, vi prego

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[strangegirl97]

Posto un disegno del solido:


La superficie del solido è costituita dalla somma delle aree laterali delle due piramidi e del cubo. Calcoliamo l'area laterale del cubo:

[math]A_l_c = AB^2 * 4 = 24^2 * 4 = 576 * 4 = 2304\;cm^2[/math]

Eliminando dall'area del solido quella laterale del cubo otterremo la somma delle aree laterali delle piramidi.

[math]A_l_{p1} + A_l_{p2} = A_s - A_l_c = cm^2\;3984 - 2304 = 1680\;cm^2[/math]

Ora viene il bello. :D Rappresentiamo tramite due segmenti le aree laterali delle due piramidi, ricordandoci che una è i 3/4 dell'altra.

[math]A_l_{p1}[/math]

(quella di sopra)
A|--------|--------|--------|B

[math]A_l_{p2}[/math]

B|--------|--------|--------|--------|C

Puoi notare che il segmento AB è formato da 3 segmentini uguali (detti unità frazionarie), mentre BC da 4. Adesso costruiamo il segmento somma, che naturalmente sarà formato da 7 unità frazionarie:
A|--------|--------|--------|B|--------|--------|--------|--------|C

Calcoliamo il valore di ciascuna unità frazionaria (indicato con uf nei calcoli sotto):

[math]uf = cm^2\;1680 : 7 = 240\;cm^2[/math]

Adesso possiamo calcolare la superficie delle aree laterali delle due piramidi:

[math]A_l_{p1} = uf * 3 = cm^2\;240 * 3 = 720\;cm^2\\
A_l_{p2} = uf *4 = cm^2\;240 * 4 = 960\;cm^2[/math]

Ora determiniamo il perimetro di base delle piramidi:

[math]p_b = AB * 4 = cm\;24 * 4 = 96\;cm[/math]

Adesso calcoliamo la misura dell'apotema di ciascuna piramide servendoci della formula inversa

[math]a = \frac{2A_l} {p_b}[/math]

. Per intenderci, l'apotema è l'altezza di ciascuno dei triangoli che formano la piramide. ;)

[math]a_1 = \frac{2 * 720} {96} = \frac{\no{1440}^{15}} {\no{96}^1} = 15\;cm\\
a_2 = \frac{2 * 960} {96} = \frac{\no{1920}^{20}} {\no{96}^1} = 20\;cm[/math]

Per calcolare il volume di una piramide serve la misura della sua altezza. Per calcolarla si può applicare un'altra formula inversa,

[math]h = \sqrt{a^2 - r^2}[/math]

. Con r viene indicato il raggio della circonferenza inscritta nella base, che nel nostro caso è uguale a 12 cm (quindi la metà dello spigolo di base, perché la base è un quadrato).
Applichiamo la formula alla priam piramide, quella più piccola.

[math]h_1 = \sqrt{{a_1}^2 - {r_1}^2} = \sqrt{15^2 - 12^2} = \sqrt{225 - 144} =\sqrt{81} = 9\;cm[/math]

Con lo stesso procedimento calcoli l'altezza dell'altra piramide. Le formule da applicare per calcolare i volumi sono queste:

[math]V = l^3[/math]

per il cubo

[math]V = \frac{A_b * h} {3}[/math]

per le piramidi.
Spero d'esserti stata d'aiuto. :)
Ciao! :hi