Geometria I media
Qualcuno può aiutarmi?
Come si misura una linea curva?
E poi...
I punti A e B distano 4 cm tra loro.I punti B e C distano 3 cm tra loro.Quale può essere la distanza tra i punti A e C
A) massima
B) minima
C) per quale posizione del punto C la distanza tra A e C è compresa tra la distanza massima e quella minima?
Esamina la situazione con un disegno.
Come si misura una linea curva?
E poi...
I punti A e B distano 4 cm tra loro.I punti B e C distano 3 cm tra loro.Quale può essere la distanza tra i punti A e C
A) massima
B) minima
C) per quale posizione del punto C la distanza tra A e C è compresa tra la distanza massima e quella minima?
Esamina la situazione con un disegno.
Risposte
Per quanto riguarda la prima questione, essa non è di semplice soluzione in linea puramente teorica... Però l’intuito aiuta.
Tu come faresti?
Per il secondo quesito, hai provato a fare un disegno? Aiuta parecchio.
Tu come faresti?
Per il secondo quesito, hai provato a fare un disegno? Aiuta parecchio.
Il primo non l'ho capito .Il testo mi dice di tracciare segmenti di diversa lunghezza, ma non so come disegnarli.
Per il secondo ho trovato come valore massimo 7, disponendo i punti in successione, e minimo 1, disponendo i punti così: A C B .è giusto come procedimento? Al terzo quesito non riesco a rispondere
Per il secondo ho trovato come valore massimo 7, disponendo i punti in successione, e minimo 1, disponendo i punti così: A C B .è giusto come procedimento? Al terzo quesito non riesco a rispondere
La prima e la seconda parte del secondo quesito è risolta correttamente. Per la domanda (c) si utilizza la disuguaglianza triangolare: "in un triangolo un lato è sempre minore della somma degli altri due e maggiore della loro differenza". Per avere la distanza AC compresa tra il valore massimo e il valore minimo basta che i tre punti A, B, C formino un triangolo.
Per il primo quesito non credo proprio che venga richiesta una formula analitica per la misura della curva, ma semplicemente un intervallo in cui inserirla. Sicuramente la lunghezza della curva è maggiore del segmento che unisce gli estremi. Poi, se la curva non cambia di concavità, puoi tracciare le tangenti alla curva nei due estremi e trovare il punto di intersezione. La lunghezza della curva è minore della somma dei due segmenti. Puoi tracciare anche altre tangenti e costruire la spezzata che sarà sempre comunque un po' più lunga della curva.
Per capirti meglio puoi disegnare una circonferenza e un po' di poligoni circoscritti (con i lati tangenti), megli se i poligoni sono regolari, perché le osservazioni vengono più precise, osserverai che:
Per il primo quesito non credo proprio che venga richiesta una formula analitica per la misura della curva, ma semplicemente un intervallo in cui inserirla. Sicuramente la lunghezza della curva è maggiore del segmento che unisce gli estremi. Poi, se la curva non cambia di concavità, puoi tracciare le tangenti alla curva nei due estremi e trovare il punto di intersezione. La lunghezza della curva è minore della somma dei due segmenti. Puoi tracciare anche altre tangenti e costruire la spezzata che sarà sempre comunque un po' più lunga della curva.
Per capirti meglio puoi disegnare una circonferenza e un po' di poligoni circoscritti (con i lati tangenti), megli se i poligoni sono regolari, perché le osservazioni vengono più precise, osserverai che:
- 1. il perimetro è maggiore della circonferenza;
2. aumentando il numero di lati il perimetro diminuisce, restando maggiore della circonferenza, ma avvicinandosi alla misura della circonferenza stessa.[/list:u:39gwa9t7]
Allo stesso modo puoi disegnare dei poligoni inscritti, anche qui se sono regolari è meglio perché le osservazioni saranno più immediate, ma non è obbligatorio, osserverai che
- 1. il perimetro di ciascun poligono è minore della circonferenza;
2. aumentando il numero di lati il perimetro aumente, restando minore della circonferenza, ma avvicinandosi alla misura della circonferenza stessa.[/list:u:39gwa9t7]
La risposta è che con una serie di spezzate si arriva ad approssimare la misura della curva.
@melia
Pensavo bastasse uno spago …
Pensavo bastasse uno spago …
Sono i passaggi "intuitivi" per il calcolo della circonferenza.
Proviamo a ragionare sul secondo quesito (la risposta al primo è più tecnica, la scrivo dopo).
Fissiamo i punti $A$ e $B$ nel piano in modo che la loro distanza sia $4"cm"$.
[asvg]xmin=0; xmax=8; ymin=-4; ymax=4;
noaxes();
stroke="grey"; marker="arrow"; line([2,0],[0,0]); line([2,0],[4,0]); text([2,0],"4 cm", below);
stroke="black"; dot([0,0]); text([0,0],"A",below); dot([4,0]); text([4,0],"B",below);[/asvg]
Domandiamoci: dove si trovano i punti del piano che hanno distanza $3"cm"$ da $B$?
Innanzitutto, ne possiamo prendere qualcuno "a casaccio", spostandoci di $3"cm"$ in qualche direzione (in linea retta, ovviamente) partendo da $B$:
[asvg]xmin=0; xmax=8; ymin=-4; ymax=4;
noaxes();
stroke="grey"; marker="arrow"; line([4,1.5],[4,0]); line([4,1.5],[4,3]); line([4,-1.5],[4,-3]); line([4,-1.5],[4,0]); line([5.061, 1.061],[4,0]); line([5.061,1.061],[6.121,2.121]); text([5.061, 1.061],"3 cm", right);
line([5.5,0],[4,0]); line([5.5,0],[7,0]); text([5.5,0],"3 cm", below);
line([2.5,0],[4,0]); line([2.5,0],[1,0]); text([2.5,0],"3 cm", below);
line([2.701,0.75],[4,0]); line([2.701,0.75],[1.402,1.5]); line([2.939,-1.061],[1.879,-2.121]); line([2.939,-1.061],[4,0]);
stroke="black"; dot([0,0]); text([0,0],"A",below); dot([4,0]); text([4,0],"B",belowright);
dot([4,3]); dot([4,-3]); dot([6.121,2.121]); dot([1.879,-2.121]); dot([1.879,-2.121]); dot([7,0]); dot([1.402,1.5]); dot([1,0]);[/asvg]
Intuitivamente, possiamo arrivare a capire che i punti che distano $3"cm"$ da $B$ sono tutti i punti della circonferenza di centro $B$ e raggio $3"cm"$, che si può tracciare col compasso:
[asvg]xmin=0; xmax=8; ymin=-4; ymax=4;
noaxes();
stroke="grey"; circle([4,0],3);
stroke="black"; dot([0,0]); text([0,0],"A",below); dot([4,0]); text([4,0],"B",below);[/asvg]
Il problema, allora, si può esprimere come segue: quali sono i punti della circonferenza di centro $B$ e raggio $3"cm"$ che sono più vicini ad $A$?
E quali quelli più lontani?
E cosa succede per tutti gli altri punti?
A queste questioni si può rispondere intuitivamente osservando la figura.
Prendiamo sulla circonferenza, a mo' di esempio, i punti che avevamo disegnato "a casaccio" prima:
[asvg]xmin=0; xmax=8; ymin=-4; ymax=4;
noaxes();
stroke="grey"; circle([4,0],3);
stroke="black"; dot([0,0]); text([0,0],"A",below); dot([4,0]); text([4,0],"B",below);
dot([4,3]); dot([4,-3]); dot([6.121,2.121]); dot([1.879,-2.121]); dot([1.879,-2.121]); dot([7,0]); dot([1.402,1.5]); dot([1,0]);[/asvg]
congiungiamo ognuno di tali punti con il punto $A$:
[asvg]xmin=0; xmax=8; ymin=-4; ymax=4;
noaxes();
stroke="grey"; circle([4,0],3);
strokewidth=2;
stroke="red"; line([0,0],[1,0]);
stroke="orange"; line([0,0], [1.402,1.5]); line([0,0], [1.879,-2.121]); line([0,0], [6.121,2.121]); line([0,0], [4,3]); line([0,0], [4,-3]);
stroke="black"; dot([0,0]); text([0,0],"A",below); dot([4,0]); text([4,0],"B",below);
dot([4,3]); dot([4,-3]); dot([6.121,2.121]); dot([1.879,-2.121]); dot([7,0]); dot([1.402,1.5]); dot([1,0]); text([1,0],"C",belowright);[/asvg]
e misuriamo le distanze di ogni punto da $A$: si vede che esse sono tutte più grandi della distanza tra $A$ ed il punto $C$ (che si ottiene intersecando la circonferenza con la semiretta che parte da $B$ e passa per $A$) il cui segmento corrispondente è colorato di rosso.
Analogamente, guardando la figura che segue:
[asvg]xmin=0; xmax=8; ymin=-4; ymax=4;
noaxes();
stroke="grey"; circle([4,0],3);
strokewidth=2;
stroke="dodgerblue"; line([0,0],[7,0]);
stroke="orange"; line([0,0], [1.402,1.5]); line([0,0], [1.879,-2.121]); line([0,0], [6.121,2.121]); line([0,0], [4,3]); line([0,0], [4,-3]);
stroke="black"; dot([0,0]); text([0,0],"A",below); dot([4,0]); text([4,0],"B",below);
dot([4,3]); dot([4,-3]); dot([6.121,2.121]); dot([1.879,-2.121]); dot([7,0]); text([7,0],"D", belowright); dot([1.402,1.5]); dot([1,0]); text([1,0],"C",belowright);[/asvg]
e misurando le distanze di ogni punto da $A$, ci accorgiamo che tali distanze sono tutte più piccole della distanza tra $A$ ed il punto $D$ (che si ottiene intersecando la semiretta che parte da $C$ e passa per $B$ con la circonferenza) il cui segmento corrispondente è colorato di azzurro.
Questi sono "indizi" di un fatto più generale (che si dimostra, ma non alle medie...), ossia che il punto della circonferenza più vicino ad $A$ è $C$, quello più lontano da $A$ è $D$ (osserva che tali punti sono diametralmente opposti!) e che ogni altro punto della circonferenza ha distanza da $A$ compresa tra la lunghezza del segmento $AC$ e quella del segmento $AD$.
Dunque, tra i punti aventi distanza $3"cm"$ da $B$:
Fissiamo i punti $A$ e $B$ nel piano in modo che la loro distanza sia $4"cm"$.
[asvg]xmin=0; xmax=8; ymin=-4; ymax=4;
noaxes();
stroke="grey"; marker="arrow"; line([2,0],[0,0]); line([2,0],[4,0]); text([2,0],"4 cm", below);
stroke="black"; dot([0,0]); text([0,0],"A",below); dot([4,0]); text([4,0],"B",below);[/asvg]
Domandiamoci: dove si trovano i punti del piano che hanno distanza $3"cm"$ da $B$?
Innanzitutto, ne possiamo prendere qualcuno "a casaccio", spostandoci di $3"cm"$ in qualche direzione (in linea retta, ovviamente) partendo da $B$:
[asvg]xmin=0; xmax=8; ymin=-4; ymax=4;
noaxes();
stroke="grey"; marker="arrow"; line([4,1.5],[4,0]); line([4,1.5],[4,3]); line([4,-1.5],[4,-3]); line([4,-1.5],[4,0]); line([5.061, 1.061],[4,0]); line([5.061,1.061],[6.121,2.121]); text([5.061, 1.061],"3 cm", right);
line([5.5,0],[4,0]); line([5.5,0],[7,0]); text([5.5,0],"3 cm", below);
line([2.5,0],[4,0]); line([2.5,0],[1,0]); text([2.5,0],"3 cm", below);
line([2.701,0.75],[4,0]); line([2.701,0.75],[1.402,1.5]); line([2.939,-1.061],[1.879,-2.121]); line([2.939,-1.061],[4,0]);
stroke="black"; dot([0,0]); text([0,0],"A",below); dot([4,0]); text([4,0],"B",belowright);
dot([4,3]); dot([4,-3]); dot([6.121,2.121]); dot([1.879,-2.121]); dot([1.879,-2.121]); dot([7,0]); dot([1.402,1.5]); dot([1,0]);[/asvg]
Intuitivamente, possiamo arrivare a capire che i punti che distano $3"cm"$ da $B$ sono tutti i punti della circonferenza di centro $B$ e raggio $3"cm"$, che si può tracciare col compasso:
[asvg]xmin=0; xmax=8; ymin=-4; ymax=4;
noaxes();
stroke="grey"; circle([4,0],3);
stroke="black"; dot([0,0]); text([0,0],"A",below); dot([4,0]); text([4,0],"B",below);[/asvg]
Il problema, allora, si può esprimere come segue: quali sono i punti della circonferenza di centro $B$ e raggio $3"cm"$ che sono più vicini ad $A$?
E quali quelli più lontani?
E cosa succede per tutti gli altri punti?
A queste questioni si può rispondere intuitivamente osservando la figura.
Prendiamo sulla circonferenza, a mo' di esempio, i punti che avevamo disegnato "a casaccio" prima:
[asvg]xmin=0; xmax=8; ymin=-4; ymax=4;
noaxes();
stroke="grey"; circle([4,0],3);
stroke="black"; dot([0,0]); text([0,0],"A",below); dot([4,0]); text([4,0],"B",below);
dot([4,3]); dot([4,-3]); dot([6.121,2.121]); dot([1.879,-2.121]); dot([1.879,-2.121]); dot([7,0]); dot([1.402,1.5]); dot([1,0]);[/asvg]
congiungiamo ognuno di tali punti con il punto $A$:
[asvg]xmin=0; xmax=8; ymin=-4; ymax=4;
noaxes();
stroke="grey"; circle([4,0],3);
strokewidth=2;
stroke="red"; line([0,0],[1,0]);
stroke="orange"; line([0,0], [1.402,1.5]); line([0,0], [1.879,-2.121]); line([0,0], [6.121,2.121]); line([0,0], [4,3]); line([0,0], [4,-3]);
stroke="black"; dot([0,0]); text([0,0],"A",below); dot([4,0]); text([4,0],"B",below);
dot([4,3]); dot([4,-3]); dot([6.121,2.121]); dot([1.879,-2.121]); dot([7,0]); dot([1.402,1.5]); dot([1,0]); text([1,0],"C",belowright);[/asvg]
e misuriamo le distanze di ogni punto da $A$: si vede che esse sono tutte più grandi della distanza tra $A$ ed il punto $C$ (che si ottiene intersecando la circonferenza con la semiretta che parte da $B$ e passa per $A$) il cui segmento corrispondente è colorato di rosso.
Analogamente, guardando la figura che segue:
[asvg]xmin=0; xmax=8; ymin=-4; ymax=4;
noaxes();
stroke="grey"; circle([4,0],3);
strokewidth=2;
stroke="dodgerblue"; line([0,0],[7,0]);
stroke="orange"; line([0,0], [1.402,1.5]); line([0,0], [1.879,-2.121]); line([0,0], [6.121,2.121]); line([0,0], [4,3]); line([0,0], [4,-3]);
stroke="black"; dot([0,0]); text([0,0],"A",below); dot([4,0]); text([4,0],"B",below);
dot([4,3]); dot([4,-3]); dot([6.121,2.121]); dot([1.879,-2.121]); dot([7,0]); text([7,0],"D", belowright); dot([1.402,1.5]); dot([1,0]); text([1,0],"C",belowright);[/asvg]
e misurando le distanze di ogni punto da $A$, ci accorgiamo che tali distanze sono tutte più piccole della distanza tra $A$ ed il punto $D$ (che si ottiene intersecando la semiretta che parte da $C$ e passa per $B$ con la circonferenza) il cui segmento corrispondente è colorato di azzurro.
Questi sono "indizi" di un fatto più generale (che si dimostra, ma non alle medie...
), ossia che il punto della circonferenza più vicino ad $A$ è $C$, quello più lontano da $A$ è $D$ (osserva che tali punti sono diametralmente opposti!) e che ogni altro punto della circonferenza ha distanza da $A$ compresa tra la lunghezza del segmento $AC$ e quella del segmento $AD$.Dunque, tra i punti aventi distanza $3"cm"$ da $B$:
- [*:f9n3j0ue] il punto che ha minima distanza da $A$ è $C$, e la distanza $AC$ misura $4-3=1"cm"$;
[/*:m:f9n3j0ue]
[*:f9n3j0ue] il punto che ha massima distanza da $A$ è $D$, e la distanza $AD$ misura $4+3=7"cm"$;
[/*:m:f9n3j0ue]
[*:f9n3j0ue] tutti gli altri punti $P$ hanno distanza da $A$ di misura compresa tra $1$ e $7"cm"$.[/*:m:f9n3j0ue][/list:u:f9n3j0ue]
[N.B.: Fammelo dire nuovamente, perché è fondamentale comunicarlo allo studente: il ragionamento che abbiamo fatto finora è totalmente basato sull'uso di esempi e dell'intuito geometrico; quindi, dal punto di vista superiore, qui non abbiamo "dimostrato" alcunché.]
Per il primo quesito, l'idea è quella già proposta da @melia: approssimare la curva con poligonali che hanno vertici su di essa.
Un disegnino, nel caso particolare di un arco di parabola, l'ho fatto qui.
In generale questo modo di procedere è molto fruttuoso, perché ha consentito di scoprire tecniche "avanzate" per determinare le lunghezze di curve che "classicamente" (cioè coi metodi dei Geometri antichi) non si sapeva calcolare.
Un disegnino, nel caso particolare di un arco di parabola, l'ho fatto qui.
In generale questo modo di procedere è molto fruttuoso, perché ha consentito di scoprire tecniche "avanzate" per determinare le lunghezze di curve che "classicamente" (cioè coi metodi dei Geometri antichi) non si sapeva calcolare.
Grazie a tutti per l'aiuto! 
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