[DOMANDA] Problema con insiemi.
Salve, chiedo se qualcuno avrebbe la cortesia di spiegarmi il meccanismo con il quale risolvere questo problema:
Devono essere istituiti i corsi di recupero per i 146 alunni delle classi prime, e le materie coinvolte sono matematica inglese e latino. Risulta che: 94 devono partecipare al corso di Matematica, 88 a quello di Inglese, 73 a quello di Latino, 62 a quelli di matematica e inglese, 45 a quelli di matematica e latino, 28 a quelli di latino e inglese, 24 a tutti e tre i corsi.
a. Quanti alunni dovranno seguire un solo corso di recupero? Quanti solo matematica? Quanti solo Inglese?
b. Quanti alunni non dovranno seguire il corso di latino? Quanti ne' il corso di matematica ne' il corso di Inglese?
Soluzione
Questo è un esercizio di verifica di comprensione degl'insiemi, per cui va risolto applicando tali regole.
Ho fatto vari tentativi per molto tempo ma non ne sono venuto fuori, rendendomi conto che la risoluzione dovrebbe essere relativamente semplice, credo di non riconoscere un ragionamento che per alcuni di voi invece sarà evidente. Un aiuto per sbloccare il mio ragionameneto inceppato.
Devono essere istituiti i corsi di recupero per i 146 alunni delle classi prime, e le materie coinvolte sono matematica inglese e latino. Risulta che: 94 devono partecipare al corso di Matematica, 88 a quello di Inglese, 73 a quello di Latino, 62 a quelli di matematica e inglese, 45 a quelli di matematica e latino, 28 a quelli di latino e inglese, 24 a tutti e tre i corsi.
a. Quanti alunni dovranno seguire un solo corso di recupero? Quanti solo matematica? Quanti solo Inglese?
b. Quanti alunni non dovranno seguire il corso di latino? Quanti ne' il corso di matematica ne' il corso di Inglese?
Soluzione
Questo è un esercizio di verifica di comprensione degl'insiemi, per cui va risolto applicando tali regole.
Ho fatto vari tentativi per molto tempo ma non ne sono venuto fuori, rendendomi conto che la risoluzione dovrebbe essere relativamente semplice, credo di non riconoscere un ragionamento che per alcuni di voi invece sarà evidente. Un aiuto per sbloccare il mio ragionameneto inceppato.
Risposte
Concordo con la risposta a).
Per la b) mi viene 71-24
Disegna 3 insiemi I-L-M che si intersecano.
Nella sezione comune a tutti e tre scrivi $24$.
Nella sezione in comune a I e L scrivi $28-24=4$
Nella sezione in comune a I e M scrivi $62-24=38$
Nella sezione in comune tra L e M scrivi $45-24=21$
Nelle sezioni non in comune scrivi quel che manca.
Per la b) mi viene 71-24
Disegna 3 insiemi I-L-M che si intersecano.
Nella sezione comune a tutti e tre scrivi $24$.
Nella sezione in comune a I e L scrivi $28-24=4$
Nella sezione in comune a I e M scrivi $62-24=38$
Nella sezione in comune tra L e M scrivi $45-24=21$
Nelle sezioni non in comune scrivi quel che manca.
Allora, iniziamo scrivendo in maniera "più semplice" il problema:
Totale alunni = $146$
M = $94$
I = $88$
L = $73$
M + I = $62$
M + L = $45$
L + I = $28$
M + L + I = $24$
dove ovviamente con M si intende la matematica, con I l'inglese e con L il latino.
La prima cosa che possiamo constatare è che abbiamo qualcosa di "particolare", ovvero il caso di $24$ allievi che frequentano tutti e tre i corsi di recupero (M + L + I). Ed è proprio da qui che iniziamo a ragionare!
Dato che $24$ allievi dovranno essere iscritti a tutti e tre i corsi, ovviamente frequenteranno una materia in più di chi è iscritto a due corsi... Perciò, per conoscere il vero valore che corrisponde a chi è iscritto a due corsi (ovvero M + I, M + L e L + I) dovremo sottrarre questo valore:
M + I = $62 - 24$ = $38$
M + L = $45 - 24$ = $21$
L + I = $28 - 24$ = $4$
Analogamente chi frequenta due corsi, frequenta una materia in più di chi è iscritto a un solo corso. Perciò anche in questo caso, per ogni corso singolo, bisogna sottrarre il valore degli iscritti a due corsi (ovviamente solo in quelli in cui appare la stessa lettera del corso singolo):
M = $94 - 38 - 21$ = $35$
I = $88 - 4 - 38$ = $46$
L = $73 - 4 - 21$ = $48$
Però non è finito qui. In questo caso la lettera del corso singolo non appare solamente nei corsi con due materie, ma anche nel caso degli alunni che frequentano tutte e tre le materie. Perciò bisogna, ancora una volta, sottrarre il $24$:
M = $35 - 24$ = $11$
I = $46 - 24$ = $22$
L = $48 - 24$ = $24$
I valori che ho scritto in grassetto corrispondono perciò a quelli finali...
Rispondiamo alle domande:
a)
- Quanti alunni dovranno seguire un solo corso di recupero?
Sommiamo gli iscritti solamente al corso di matematica (M = $11$), di inglese (I = $22$) e di latino (L = $24$). In totale otteniamo $57$.
- Quanti solo matematica?
Come si legge sopra, M = $11$.
- Quanti solo inglese?
Idem, I = $22$.
b)
- Quanti alunni non dovranno seguire il corso di latino?
Prendiamo il totale degli alunni e dobbiamo sottrarre tutti quelli che frequenteranno lezioni di latino, quindi: $146 - 24 -21 - 4 - 24 = 73$.
- Quanti né il corso di matematica né il corso di inglese?
Prendiamo il totale degli alunni e dobbiamo sottrarre tutti quelli che frequenteranno lezioni di matematica e di inglese: $146 - 24 - 4 - 21 - 38 - 11 - 22 = 26$
Come vedi il problema è stato risolto in fretta e i risultati corrispondono con quelli che hai dato tu
Come spiegato dall'utente che ha risposto prima di me, se devi risolvere il problema utilizzando gli insiemi puoi utilizzare il ragionamento da me qui spiegato e poi disegnare graficamente i valori sfruttando dei Diagrammi di Venn.
Se qualcosa non fosse chiaro, non esitare a domandare
Totale alunni = $146$
M = $94$
I = $88$
L = $73$
M + I = $62$
M + L = $45$
L + I = $28$
M + L + I = $24$
dove ovviamente con M si intende la matematica, con I l'inglese e con L il latino.
La prima cosa che possiamo constatare è che abbiamo qualcosa di "particolare", ovvero il caso di $24$ allievi che frequentano tutti e tre i corsi di recupero (M + L + I). Ed è proprio da qui che iniziamo a ragionare!
Dato che $24$ allievi dovranno essere iscritti a tutti e tre i corsi, ovviamente frequenteranno una materia in più di chi è iscritto a due corsi... Perciò, per conoscere il vero valore che corrisponde a chi è iscritto a due corsi (ovvero M + I, M + L e L + I) dovremo sottrarre questo valore:
M + I = $62 - 24$ = $38$
M + L = $45 - 24$ = $21$
L + I = $28 - 24$ = $4$
Analogamente chi frequenta due corsi, frequenta una materia in più di chi è iscritto a un solo corso. Perciò anche in questo caso, per ogni corso singolo, bisogna sottrarre il valore degli iscritti a due corsi (ovviamente solo in quelli in cui appare la stessa lettera del corso singolo):
M = $94 - 38 - 21$ = $35$
I = $88 - 4 - 38$ = $46$
L = $73 - 4 - 21$ = $48$
Però non è finito qui. In questo caso la lettera del corso singolo non appare solamente nei corsi con due materie, ma anche nel caso degli alunni che frequentano tutte e tre le materie. Perciò bisogna, ancora una volta, sottrarre il $24$:
M = $35 - 24$ = $11$
I = $46 - 24$ = $22$
L = $48 - 24$ = $24$
I valori che ho scritto in grassetto corrispondono perciò a quelli finali...
Rispondiamo alle domande:
a)
- Quanti alunni dovranno seguire un solo corso di recupero?
Sommiamo gli iscritti solamente al corso di matematica (M = $11$), di inglese (I = $22$) e di latino (L = $24$). In totale otteniamo $57$.
- Quanti solo matematica?
Come si legge sopra, M = $11$.
- Quanti solo inglese?
Idem, I = $22$.
b)
- Quanti alunni non dovranno seguire il corso di latino?
Prendiamo il totale degli alunni e dobbiamo sottrarre tutti quelli che frequenteranno lezioni di latino, quindi: $146 - 24 -21 - 4 - 24 = 73$.
- Quanti né il corso di matematica né il corso di inglese?
Prendiamo il totale degli alunni e dobbiamo sottrarre tutti quelli che frequenteranno lezioni di matematica e di inglese: $146 - 24 - 4 - 21 - 38 - 11 - 22 = 26$
Come vedi il problema è stato risolto in fretta e i risultati corrispondono con quelli che hai dato tu
Come spiegato dall'utente che ha risposto prima di me, se devi risolvere il problema utilizzando gli insiemi puoi utilizzare il ragionamento da me qui spiegato e poi disegnare graficamente i valori sfruttando dei Diagrammi di Venn.Se qualcosa non fosse chiaro, non esitare a domandare
Grazie per la risposta. Chiara ed esaustiva. Mi rimangono dei dubbi. che sono legati alla poca abitudine a questo tipo di ragionamento, ma leggendo e rileggendo lo svolgimento si risolveranno.
Se vuoi vedere altri problemi di questo tipo puoi cercarli in internet. Si chiamano problema del trifoglio.
Buongiorno,
ho provato ad applicare i 2 ragionamenti: quello di superpippone e quello di Davonit.
Dal momento che i problemi si chiamano "a trifoglio" ho iniziato con i tre insiemi che si intersecano come un trifoglio.
Tutto bene e liscio: risultato a)57, 11, 22; b)71,24
Rifaccio con il sistema di Davonit: anche qui a)57, 11, 22, ma cambia la risposta b): 73,26
Praticamente nella risposta b) c'e' un +2 e un -2 che traballano...
Eppure, sia il trifoglio che l'altro sembrano entrambi ragionamenti corretti.
Dove sta l'errore del trifoglio ? ... non lo vedo
Grazie e cordiali saluti
arenite
ho provato ad applicare i 2 ragionamenti: quello di superpippone e quello di Davonit.
Dal momento che i problemi si chiamano "a trifoglio" ho iniziato con i tre insiemi che si intersecano come un trifoglio.
Tutto bene e liscio: risultato a)57, 11, 22; b)71,24
Rifaccio con il sistema di Davonit: anche qui a)57, 11, 22, ma cambia la risposta b): 73,26
Praticamente nella risposta b) c'e' un +2 e un -2 che traballano...
Eppure, sia il trifoglio che l'altro sembrano entrambi ragionamenti corretti.
Dove sta l'errore del trifoglio ? ... non lo vedo
Grazie e cordiali saluti
arenite
Me ne sono accorto dopo lungo tempo.....
C'era un inghippo: se sommiamo tutti i numeri del "trifoglio" si arriva a 144.
All'inizio sta scritto che gli alunni sono 146. E non sta scritto che TUTTI e 146 devono fare i corsi di recupero.
Pertanto ce ne sono 2 che non hanno bisogno dei suddetti corsi.
Alla luce di ciò, i risultati del libro sono corretti.
Evidentemente bisogna disegnare un insieme più grande (146) che contenga il "trifoglio", e nello spazio che non fa parte del trifoglio scrivere 2.
Chiedo scusa per non averci pensato prima, ma non avevo considerato questa eventualità......
C'era un inghippo: se sommiamo tutti i numeri del "trifoglio" si arriva a 144.
All'inizio sta scritto che gli alunni sono 146. E non sta scritto che TUTTI e 146 devono fare i corsi di recupero.
Pertanto ce ne sono 2 che non hanno bisogno dei suddetti corsi.
Alla luce di ciò, i risultati del libro sono corretti.
Evidentemente bisogna disegnare un insieme più grande (146) che contenga il "trifoglio", e nello spazio che non fa parte del trifoglio scrivere 2.
Chiedo scusa per non averci pensato prima, ma non avevo considerato questa eventualità......
"superpippone":
All'inizio sta scritto che gli alunni sono 146. E non sta scritto che TUTTI e 146 devono fare i corsi di recupero.
Pertanto ce ne sono 2 che non hanno bisogno dei suddetti corsi.
Perfetto ! ora tutto torna
Cordiali saluti
arenite
Bastava chiederlo a quei due ...
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