Chi mi aiuta con questi problemi di geometria?

[Annageom]

Un quadrilatero ABCD è formato da due triangoli isosceli aventi la base in comune. Calcola l'area del quadrilatero sapendo che il perimetro è 108 cm e che il lato e l altezza relativa alla base di uno dei triangoli misurano rispettivamente 20cm e 12 cm
672 cm quadrati

Secondo problema

Un giardino è formato da un quadrato di area 196m quadrati e da quattro triangoli isosceli congruenti la cui altezza è 12/7 del lato del quadrato. Calcola il perimetro e l area del giardino.
200 ;868m quadri

Terzo problema

Un triangolo isoscele ha la base coincidente con la base di un rettangolo. Il perimetro è 126cm,la base supera l altezza di 9 cm e l altezza del triangolo è 2/3 della base del rettangolo. Calcola
A. Il perimetro e l area del poligono ABCDE
B. la misura della diagonale del rettangolo
150cm,1404cm quadrati, 45 cm

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[gio.cri]

Ciao, io leggo nelle foto allegate solamente due problemi, ora ne svolgo 1, il resto prova a farli da sola e poi ci fai sapere.

Esercizio 142:

Partiamo dai dati utili e vediamo come muoverci per completare le richieste del problema. Conosciamo il perimetro del rettangolo ABCE, e sappiamo che la base del rettangolo supera l'altezza del rettangolo di 9 cm. Quindi, si puo' impostare un sistema di due equazioni in due incognite per trovare il lati del rettangolo.

[math] 1) 2*a_r+2*b_r = 126 [cm] [/math]

[math] 2) b_r = a_r + 9[cm] [/math]

Dove, con a_r=altezza rettangolo e b_r=base rettangolo.
N.B. Ci sono i pedici per distinguerli con quelli del triangolo che vedremo dopo. Quindi, sostituendo la 2) nella 1):

[math] 1) 2*a_r +2*(a_r+9) = 126 [/math]

[math] 1) 2*a_r +2*a_r +18 = 126 [/math]

[math] 1) 4*a_r = 126-18 [/math]

[math] 1) a_r = \frac{108}{4} = 27 [cm] [/math]

Conosciamo l'altezza, possiamo trovare la base con la 2):

[math] 2) b_r = a_r + 9 [cm] = 27 [cm] + 9[cm] = 36 [cm] [/math]

Conosciamo tutti i lati del rettangolo, adesso, passiamo a calcolare i lati del triangolo. Innanzitutto, sappiamo che si tratta di un triangolo isoscele, ovvero un triangolo caratterizzato nell'avere due lati uguali, poi ha come base il lato maggiore del rettangolo ed un'altezza pari a 2/3 della propria base. Quindi, procediamo con ordine:

Iniziamo a calcolare l'altezza del triangolo:

[math] h_t = \frac{2}{3}*b_t [/math]

Ma sappiamo che la base del triangolo b_t e' coincidente con il lato maggiore del rettangolo b_r. Quindi:

[math] h_t = \frac{2}{3}*b_r = \frac{2}{3}*36 [cm] = 24 [cm] [/math]

Adesso, dobbiamo trovare i restanti due lati del triangolo, pero' sappiamo che sono uguali perche' il triangolo e' isoscele. Quindi, calcolando un solo lato, possiamo trovare anche l'altro. Procediamo con questo ragionamento:

Come sempre, ci viene in soccorso il Teorema di Pitagora perche' l'altezza taglia il triangolo isoscele in due triangoli rettangoli (Metto un disegno per capire meglio, disegno solo il triangolo). Ogni triangolo rettangolo ha come cateto minore, la meta' della base del triangolo isoscele; mentre, come cateto maggiore ha l'altezza del triangolo isoscele. Quindi, possiamo trovare l'ipotenusa di uno dei triangoli:

[math] Ipotenusa = \sqrt{(\frac{b_t}{2})^2+h_t^2} [/math]

[math] Ipotenusa = \sqrt{(\frac{36}{2})^2+24^2}= 30 [cm] [/math]

Adesso, abbiamo tutti i dati per completare le richieste.
Iniziamo dal perimetro:

[math] P_{ABCDE} = \bar{AB}+\bar{BC}+\bar{CD}+\bar{DE}+\bar{EA}= [/math]

[math]P_{ABCDE} = 36 [cm]+27[cm]+30[cm]+30[cm]+27[cm] = 150 [cm] [/math]

Per l'area possiamo sommare l'area del rettangolo con quella del triangolo, quindi:

[math] A_{ABCE} = 36 [cm] *27[cm]= 972 [cm^2] [/math]

[math] A_{ECD} = \frac{36 [cm]*24[cm]}{2} = 432 [cm^2 [/math]

La somma:

[math] A_{ABCDE} = A_{ABCE}+A_{ECD} = 972 [cm^2] + 432 [cm^2] = 1404 [cm^2] [/math]

Manca soltanto la diagonale del rettangolo che possiamo calcolare con il Teorema di Pitagora:

[math] D_r = \sqrt{b_r^2+a_r^2}=\sqrt{36^2+27^2}= 45[cm] [/math]

Esercizio Terminato

Spero di esserti stato d'aiuto. Prova a svolgere il secondo esercizio ed allega i risultati ottenuti, ovviamente, se riscontri altre difficolta' non temere di chiedere aiuto. Buona giornata.