Cavo quadripolare

[crow88]

Buongiorno, ho difficoltà a risolvere questo quesito:

Ho un cavo quadripolare del raggio di 10mm, immaginando nullo lo spessore del rivestimento devo calcolare l'area centrale delimitata dai 4 cavi interni; per semplificare: 4 circonferenze tangenti fra loro e con la circonferenza delimitante il tutto.
Ho provato a delimitarne un quarto di modo di avere un settore circolare ed una singola circonferenza inscritta, ho provato a costruirne un triangolo retto od anche un quadrato che mi pare l'ideale per il calcolo dell'area delimitata centralmente ma non ho capito come calcolare il raggio del cerchio nel primo caso o la diagonale del quadrato nel secondo(che mi pare l'ideale per la risoluzione).

Spero di essere stato chiaro nella richiesta,invio immagine esempio più simile possibile del cavo; attendo risposte e ringrazio.

[axpgn]

Guarda questo

Peraltro la sezione delle medie non mi sembra la più adatta

Cordialmente, Alex

[crow88]

Appena ho tempo lo controllo e riprovo, ti farò sapere. E' sul libro di terza media tra le competenze avanzate, non vi sono ne suggerimenti ne soluzione.
Cordiali saluti

[crow88]

Sostanzialmente quindi mi hai risposto di lavorare su questo, spero rientri in una competenza delle medie (sto preparando ripetizioni)





Io invece stavo cercando di arrivare a questo che mi avrebbe dato, area del quadrato meno l'area del cerchio, la misura esatta dell'area delimitata dalle 4 circonferenze





Nel mio caso, comunque, i due raggi sono uguali e da quello che mi hai inviato la somma dei due raggi è uguale alla somma delle due diagonali meno il diametro.

Non svolgerò qua i calcoli, comunque:

le diagonali non sono altro che la radice quadrata della somma del quadrato di ogni lato visto che ho un triangolo rettangolo con i cateti uguali.

Ottenuta la diagonale, svolgo i calcoli che mi hai inviato e ottengo il raggio.

Qui ho qualche dubbio, perchè a me interessa solo l'area delimitata centralmente: se sottraggo solo l'area delle circonferenza delimitate, ottengo anche l'area degli spicchi "esterni".

C'è qualcosa che non vedo?

[crow88]

In ogni caso noto ora che, trovato il raggio delle circonferenze e unendo i centri di tutte e quattro, trovo un quadrato congruente a quello che cercavo.

[axpgn]

"dnl88n":Sostanzialmente quindi mi hai risposto di lavorare su questo,

Sì, giusto.

"dnl88n":... spero rientri in una competenza delle medie (sto preparando ripetizioni)

Non saprei, a me sembrava già complicato il problema in sè … e non adatto alla medie in generale, poi magari qualcuno ci può arrivare lo stesso ... ora, non mi ricordo se la soluzione di orsoulx usasse matematica più "avanzata" ma quella che avevo io utilizzava solo Pitagora (però con ragionamenti non proprio banali ... )

In definitiva, nel tuo caso, detta $i$ l'ipotenusa/diametro semicerchio e detto $c$ il cateto, ottieni il raggio così $r=(c(i-c))/i$ dove peraltro hai $c=sqrt(2)/2i$

Ottenuto il raggio dei cerchi interni sei a posto; l'area del quadrilatero curvilineo racchiuso tra i quattro cerchi è il quadruplo di uno "spicchio" la cui area è quella del quadrato di lato $r$ a cui sottrai un quarto di cerchio $(pir^2)/4$

[crow88]

"axpgn":

Non saprei, a me sembrava già complicato il problema in sè … e non adatto alla medie in generale

In realtà inizio a pensare che la cosa sia ancora più semplice, anche perchè basterebbe calcolare la distanza tra i centri di due circonferenze; dici che il modo che mi hai suggerito è il più elementare possibile?

[Geppo2]

Affinchè il cerchio di centro D sia inscritto nel quadrante (di raggio R), deve essere DM=DH=DK=r.
DKAH è un quadrato, per cui si ha: $DA=r*sqrt(2)$, $DM=R-DA=R-r*sqrt(2)$. Allora $R-r*sqrt(2)=r$, da cui $r=R/(sqrt(2)+1)$.

[crow88]

"Geppo":

Affinchè il cerchio di centro D sia inscritto nel quadrante (di raggio R), deve essere DM=DH=DK=r.
DKAH è un quadrato, per cui si ha: $DA=r*sqrt(2)$, $DM=R-DA=R-r*sqrt(2)$. Allora $R-r*sqrt(2)=r$, da cui $r=R/(sqrt(2)+1)$.

Grazie mille proprio questo cercavo!

[axpgn]

Guarda che è lo stesso risultato e metodo usato nel caso generale che ti ho linkato, sfrutta il fatto che il raggio piccolo è un segmento del raggio grande, è questo il punto importante.