2 Esercizi di Geometria entro oggi:)
1-
un solido è alto 63cm ed è formato da un parallelepipedo rettangolo P che ha per base un quadrato con il lato di 24 cm, e da una piramide regolare P' che è equivalente ai 16/15 di P ed ha per base la base superiore P. Calcola:
a-LA DIAGONALE DI P
b-L'APOTEMA DI P'
c-L'AREA DELLA SUPERFICIE TOTALE ED IL VOLUME DEL SOLIDO.
2-
Un solido ha il volume di 1400 cm^3 ed è formato da un parallelepipedo rettangolo P avenre per base un quadrato col perimetro di 40 cm, e da due piramidi regolati uguali tra loro ed aventi per basi le due basi di P. Sapendo che ciascuna piramide è equivalente ai 2/3 di P, calcola l'area della superficie del solido
GRZIE MILLE:)
un solido è alto 63cm ed è formato da un parallelepipedo rettangolo P che ha per base un quadrato con il lato di 24 cm, e da una piramide regolare P' che è equivalente ai 16/15 di P ed ha per base la base superiore P. Calcola:
a-LA DIAGONALE DI P
b-L'APOTEMA DI P'
c-L'AREA DELLA SUPERFICIE TOTALE ED IL VOLUME DEL SOLIDO.
2-
Un solido ha il volume di 1400 cm^3 ed è formato da un parallelepipedo rettangolo P avenre per base un quadrato col perimetro di 40 cm, e da due piramidi regolati uguali tra loro ed aventi per basi le due basi di P. Sapendo che ciascuna piramide è equivalente ai 2/3 di P, calcola l'area della superficie del solido
GRZIE MILLE:)
Risposte
Ecco a te:
Il volume del parallelepipedo P è pari a:
V(p) = area base x h(P) = 24^2 x h(P) = 576 x h(P)
Il volume della piramide P' è invece pari a:
V (p') = area base x h(p')/3 = 24^2 x h(p')/3 = 192 x h(P')
Sappiamo che V(P') = 16/15 V(P).
Quindi si può scrivere:
16/15 V(P) = 16/15 x 576 x h(P) = 192 x h(P')
614,4 x h(P) = 192 x h(P')
Ora, l'altezza totale del solido è pari a 63 cm. Quindi posso scrivere:
h(P) + h(P') = 63 cm
Cioè h(P') = 63 - h(P).
Posso sostituire questo risultato nella realzione scritta precedentemente:
614,4 x h(P) = 192 x [63 -h(P)]
614,4 x h(P) = 12096 -192 h(P)
614,4 h(P) + 192 h(P) = 12096
806,4 h(P) = 12096
h(P) = 12096/806,4 = 15 cm
h(P') = 63 - h(P) = 63 -15 = 48 cm
La diagonale del parallelepipedo è l'ipotenusa di un triangolo rettangolo che ha per cateti l'latezza del parallelepipedo e la diagonale di base. possiamo dunque determinare la diagonale del parallelepipedo grazie al teorema di Pitagora. Prima però, determinaiamo velocemente la diagonale di base, sempre con il teorema di Pitagora:
d(base)^2 = 2l^2 = 2 x 24^2 = 1152 cm^2
D = radice di [h(P)^2 + d^2] = radice di (15^2 + 1152) = radice di 225 + 1152) = radice di 1377 = 37, 10 cm (circa)
L'apotema della piramide è a sua volta l'ipotenusa di un altro traingolo rettangolo, che ha per cateti l'altezza della piramide e l'apotema di base. Nel quadrato l'apotema di base è pari alla metà del lato (dunque 12 cm).
Calcoliamo l'apotema della piramide grazue al teorema di Pitagora:
A = radice di (48^2 + 12^2) = radice di (2304 + 144) = radice di 2448 = 49,47 cm(circa)
Il voluem del solido è presto calcolato: è sufficiente utilizzare le due formule scritte all'inizio dello svolgimento del problem, e sostituire ad h(P) e h(P') il valore calcolato.
L'area totale è inve pari a:
A(tot) = A(lat)P + A(lat)(P') + A(base) = 4 x l x h(P) + perimetro base x apotema/2 + l^2 = 4 x 14 x 15 + 4 x 24 x 49,47/2 + 24^2
Un minuto solo e arriva anche la seconda parte!
Aggiunto 11 minuti più tardi:
Secondo esercizio:
Calcoliamo innanzi tutto il lato di base. Essendo essa quadrata...
l = P/4 = 40/4 = 10 cm
Si sa che: (Vot) = 1400 = V(parallelepipedo) + 2V(piramide).
Ma V(piramide) = 2/3 V(parallelepipedo).
Dunque....
1400 = V(P) + 2 x 2/3V(P)
1400 = V(P) + 4/3 V(P)
1400 = 7/3 x V(P)
V(P) = 1400 x 3/7 = 600 cm^3
Ora, V(P) = area bese x h(P).
Quindi h(P) = V(P) /area base = V(P)/l^2 = 600/100 = 6 cm
V(piramidi) = 2/3 x V(P) = 2/3 x 600 = 400 cm^2
V(piramide) = area base x altezza piramide/3
h(piramide) = V(piramide) x 3/area base = 400 x 3/100 = 12 cm
Determiniamone l'apotema, con un procedimento del tutto analogo a quello del problema precedente:
a = radice di [h'^2 + ap (base)^2] = radice di (12^2 + 5^2) = radice di 169 = 13 cm
L'area della superficie del solito è pari a:
A(tot) = A(lat)P + 2 x A(lat) piramide
A(tot) = perimetro base x h(P) + 2 x perimetro base x apotema/2 = 40 x 6 + 40 x 13 = 240 + 520 = 760 cm^2
Fine. Ciao!!!
Il volume del parallelepipedo P è pari a:
V(p) = area base x h(P) = 24^2 x h(P) = 576 x h(P)
Il volume della piramide P' è invece pari a:
V (p') = area base x h(p')/3 = 24^2 x h(p')/3 = 192 x h(P')
Sappiamo che V(P') = 16/15 V(P).
Quindi si può scrivere:
16/15 V(P) = 16/15 x 576 x h(P) = 192 x h(P')
614,4 x h(P) = 192 x h(P')
Ora, l'altezza totale del solido è pari a 63 cm. Quindi posso scrivere:
h(P) + h(P') = 63 cm
Cioè h(P') = 63 - h(P).
Posso sostituire questo risultato nella realzione scritta precedentemente:
614,4 x h(P) = 192 x [63 -h(P)]
614,4 x h(P) = 12096 -192 h(P)
614,4 h(P) + 192 h(P) = 12096
806,4 h(P) = 12096
h(P) = 12096/806,4 = 15 cm
h(P') = 63 - h(P) = 63 -15 = 48 cm
La diagonale del parallelepipedo è l'ipotenusa di un triangolo rettangolo che ha per cateti l'latezza del parallelepipedo e la diagonale di base. possiamo dunque determinare la diagonale del parallelepipedo grazie al teorema di Pitagora. Prima però, determinaiamo velocemente la diagonale di base, sempre con il teorema di Pitagora:
d(base)^2 = 2l^2 = 2 x 24^2 = 1152 cm^2
D = radice di [h(P)^2 + d^2] = radice di (15^2 + 1152) = radice di 225 + 1152) = radice di 1377 = 37, 10 cm (circa)
L'apotema della piramide è a sua volta l'ipotenusa di un altro traingolo rettangolo, che ha per cateti l'altezza della piramide e l'apotema di base. Nel quadrato l'apotema di base è pari alla metà del lato (dunque 12 cm).
Calcoliamo l'apotema della piramide grazue al teorema di Pitagora:
A = radice di (48^2 + 12^2) = radice di (2304 + 144) = radice di 2448 = 49,47 cm(circa)
Il voluem del solido è presto calcolato: è sufficiente utilizzare le due formule scritte all'inizio dello svolgimento del problem, e sostituire ad h(P) e h(P') il valore calcolato.
L'area totale è inve pari a:
A(tot) = A(lat)P + A(lat)(P') + A(base) = 4 x l x h(P) + perimetro base x apotema/2 + l^2 = 4 x 14 x 15 + 4 x 24 x 49,47/2 + 24^2
Un minuto solo e arriva anche la seconda parte!
Aggiunto 11 minuti più tardi:
Secondo esercizio:
Calcoliamo innanzi tutto il lato di base. Essendo essa quadrata...
l = P/4 = 40/4 = 10 cm
Si sa che: (Vot) = 1400 = V(parallelepipedo) + 2V(piramide).
Ma V(piramide) = 2/3 V(parallelepipedo).
Dunque....
1400 = V(P) + 2 x 2/3V(P)
1400 = V(P) + 4/3 V(P)
1400 = 7/3 x V(P)
V(P) = 1400 x 3/7 = 600 cm^3
Ora, V(P) = area bese x h(P).
Quindi h(P) = V(P) /area base = V(P)/l^2 = 600/100 = 6 cm
V(piramidi) = 2/3 x V(P) = 2/3 x 600 = 400 cm^2
V(piramide) = area base x altezza piramide/3
h(piramide) = V(piramide) x 3/area base = 400 x 3/100 = 12 cm
Determiniamone l'apotema, con un procedimento del tutto analogo a quello del problema precedente:
a = radice di [h'^2 + ap (base)^2] = radice di (12^2 + 5^2) = radice di 169 = 13 cm
L'area della superficie del solito è pari a:
A(tot) = A(lat)P + 2 x A(lat) piramide
A(tot) = perimetro base x h(P) + 2 x perimetro base x apotema/2 = 40 x 6 + 40 x 13 = 240 + 520 = 760 cm^2
Fine. Ciao!!!
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