1a Media - "Le Frazioni" - Esercizo N.114
Rieccomi. Ho un dubbio su questo esercizio per come è stato posto.
Esercizio N.114
Nei seguenti esercizi sottolina i gruppi formati da frazioni tutte fra loro equivalenti.
Gruppo 1:
[tex]\frac{1}{5}, \frac{3}{15}, \frac{7}{35}[/tex].
.. poi ve ne sono altri 2 ma il discorso è analogo.
Svolgimento
Non ho sottolineato questo gruppo poichè [tex]\frac{1}{5}[/tex] è equivalente alle restanti due (e viceversa) ma [tex]\frac{3}{15}[/tex] non è equivalente a [tex]\frac{7}{35}[/tex].
Sbaglio?
Grazie.
Esercizio N.114
Nei seguenti esercizi sottolina i gruppi formati da frazioni tutte fra loro equivalenti.
Gruppo 1:
[tex]\frac{1}{5}, \frac{3}{15}, \frac{7}{35}[/tex].
.. poi ve ne sono altri 2 ma il discorso è analogo.
Svolgimento
Non ho sottolineato questo gruppo poichè [tex]\frac{1}{5}[/tex] è equivalente alle restanti due (e viceversa) ma [tex]\frac{3}{15}[/tex] non è equivalente a [tex]\frac{7}{35}[/tex].
Sbaglio?
Grazie.
Risposte
Sbagli. Non so "come" guardi le frazioni (visto che è tanto che manco dalle medie 
) ma posso indicarti qualche procedimento che ti avrebbe dato la risposta (in fin dei conti sono tutti equivalenti).
1. Avresti potuto semplificare $ 3/15 $ e $ 7/35 $ e osservare che, semplificate diventano $ 1/5 $ (dato che $ 15=3*5 $ e $ 35=7*5 $ ).
2. Sappiamo che due frazioni $ a/b , c/d $ sono equivalenti se e soltanto se $ a*d = b*c $ e quindi ti bastava verificare che $ 3*35=15*7 $
3. Oppure, come hai giustamente osservato, $ 1/5 $ è equivalente alle altre 2, quindi per transitività seguiva l'equivalenza tra le altre.
) ma posso indicarti qualche procedimento che ti avrebbe dato la risposta (in fin dei conti sono tutti equivalenti).1. Avresti potuto semplificare $ 3/15 $ e $ 7/35 $ e osservare che, semplificate diventano $ 1/5 $ (dato che $ 15=3*5 $ e $ 35=7*5 $ ).
2. Sappiamo che due frazioni $ a/b , c/d $ sono equivalenti se e soltanto se $ a*d = b*c $ e quindi ti bastava verificare che $ 3*35=15*7 $
3. Oppure, come hai giustamente osservato, $ 1/5 $ è equivalente alle altre 2, quindi per transitività seguiva l'equivalenza tra le altre.
"J_Zero":
Sbagli. Non so "come" guardi le frazioni (visto che è tanto che manco dalle medie
1. Avresti potuto semplificare $ 3/15 $ e $ 7/35 $ e osservare che, semplificate diventano $ 1/5 $ (dato che $ 15=3*5 $ e $ 35=7*5 $ ).
Mmmm non ho compreso ancora appieno...ma in questo caso non dimostriamo che [tex]\frac{1}{5}[/tex] sia equivalente alle altre 2?
Cioè per arrivare da una frazione qualsiasi ad una equivalente sia numeratore che il denominatore devono essere divisibili per uno stesso numero no? Così da trovare la frazione equivalente (o si moltiplica per lo stesso numero). In questo caso non c'è nessun numero che moltiplicato o diviso sia per numeratore che per il denominatore porti da [tex]\frac{3}{15}[/tex] a [tex]\frac{7}{35}[/tex] no ?
Per essere più preciso
da [tex]\frac{1}{5}[/tex] se moltiplico numeratore e denominatore per 3 ottengo [tex]\frac{3}{15}[/tex], ovvero una equivalente.
Allo stesso modo da [tex]\frac{3}{15}[/tex] dividendo numeratore e denominatore per 3 ottengo [tex]\frac{1}{5}[/tex]. E così per l'altra frazione...sbaglio a ragionare così?
E' una buona osservazione, ma l'uguaglianza è una relazione di equivalenza, quindi segue logicamente per transitività.
Inizialmente tu sei partito da $ 1/5 $ che era la frazione ridotta ai minimi termini e quindi hai trovato che quelle altre due frazioni erano $ 1/5 $ per qualcosa. Adesso chiediti, quanto valeva questo qualcosa? Ovviamente hai trovato che:
$ 3/15 = 1/5 * 3/3 $
$ 7/35 = 1/5 * 7/7 $
Ovvero che 3/7 divideva il numeratore e denominatore quindi che la frazione era fatta così $ (3*k)/(3*k), (7*i)/(7*i) $.
Adesso come ben noti 7 e 3 hanno ben poco a che fare visto che non hanno divisori in comune, ma questo del trovare un numero che divida numeratore e denominatore lo fai solo all'inizio, perché se vai avanti ti accorgi anche che puoi semplificare il 7 con il 7 e il 3 con il 3. Quindi questo numero che cerchi con tanta fatica non è altro che il numero 1 (questa operazione equivale a semplificare i fattori del numeratore e del denominatore)! Adesso facciamo lo stesso ragionamento che hai fatto tu, cerchiamo un numero $ x $ che moltiplicato per $ 3/15 $ ci dia $ 7/35 $, quindi dobbiamo risolvere l'equazione:
$ 3/15x = 7/35 $
Quanto vale la soluzione dell'equazione? Cosa significa?
Inizialmente tu sei partito da $ 1/5 $ che era la frazione ridotta ai minimi termini e quindi hai trovato che quelle altre due frazioni erano $ 1/5 $ per qualcosa. Adesso chiediti, quanto valeva questo qualcosa? Ovviamente hai trovato che:
$ 3/15 = 1/5 * 3/3 $
$ 7/35 = 1/5 * 7/7 $
Ovvero che 3/7 divideva il numeratore e denominatore quindi che la frazione era fatta così $ (3*k)/(3*k), (7*i)/(7*i) $.
Adesso come ben noti 7 e 3 hanno ben poco a che fare visto che non hanno divisori in comune, ma questo del trovare un numero che divida numeratore e denominatore lo fai solo all'inizio, perché se vai avanti ti accorgi anche che puoi semplificare il 7 con il 7 e il 3 con il 3. Quindi questo numero che cerchi con tanta fatica non è altro che il numero 1 (questa operazione equivale a semplificare i fattori del numeratore e del denominatore)! Adesso facciamo lo stesso ragionamento che hai fatto tu, cerchiamo un numero $ x $ che moltiplicato per $ 3/15 $ ci dia $ 7/35 $, quindi dobbiamo risolvere l'equazione:
$ 3/15x = 7/35 $
Quanto vale la soluzione dell'equazione? Cosa significa?
"J_Zero":
...quindi dobbiamo risolvere l'equazione:
$ 3/15x = 7/35 $
Quanto vale la soluzione dell'equazione? Cosa significa?
Vedimo, dai miei ricordi adolescenziali:
[tex]\frac{3}{15}x = \frac{7}{35}[/tex]
[tex]x = \frac{7}{35} * \frac{15}{3} = \frac{7}{7} * \frac{3}{3} = 1 * 1 = 1[/tex]
Come dicevi te
Allora mi sovviene da chiederti, se quell'x non fosse un numero naturale allora le due frazioni non sarebbero pià equivalenti?
Io direi che non sono equivalenti per ogni numero (credo tu sia arrivato fino ai Reali) diverso da 1. Come ho scritto prima, due frazioni sono equivalenti se e soltanto se $ a*d = b*c $. Nella nostra relazione avevamo che erano equivalenti se e soltanto se (magheggiando) $ 3*35*x = 7*15 $ -> $ 105x=105 $ che è vera se e solo se $ x=1 $ .
"J_Zero":
Io direi che non sono equivalenti per ogni numero (credo tu sia arrivato fino ai Reali) diverso da 1. Come ho scritto prima, due frazioni sono equivalenti se e soltanto se $ a*d = b*c $. Nella nostra relazione avevamo che erano equivalenti se e soltanto se (magheggiando) $ 3*35*x = 7*15 $ -> $ 105x=105 $ che è vera se e solo se $ x=1 $ .
Bene, ti ringrazio per la pazienza. Alla prossima allora.
Di nulla, spero di esserti stato utile.
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