Problema sulle onde armoniche (215906)

[Cristoforo-]

Una punta che vibra alla frequenza di 50,0 Hz immersa in una vasca piena d'acqua produce una serie di 200 onde che si estendono su un tratto di 8,40 m, ognuna di ampiezza 28,2 cm. All'istante iniziale t=0 s, l'ampiezza dell'onda è y=-28,2 cm.

1)Calcola la lunghezza d'onda e la velocità di propagazione dell'onda.
2)Scrivi l'equazione dello spostamento verticale di un punto dell'acqua in funzione della posizione x.

Grazie mille in anticipo

[mc2]

1) ci sono 200 onde in 8,4 metri: vuol dire che la lunghezza d'onda e`

[math]\lambda=\frac{8,4}{200}~\mbox{m}=0,042~\mbox{m}[/math]

Velocita`:

[math]v=\frac{\lambda}{T}=\lambda\nu=2,1~\mbox{m/s}[/math]

2) vettore d'onda:

[math]k=\frac{2\pi}{\lambda}=150~\mbox{rad/m}[/math]

pulsazione:

[math]\omega=2\pi\nu=314~\mbox{rad/s}[/math]

Lo spostamento verticale parte dal valore minimo (negativo) a t=0: deve essere proporzionale a

[math]-\cos(kx-\omega t)[/math]

, quindi e`:

[math]y(x,t)=-28.2~\cos(150~x-314~t)[/math]

cm

[Cristoforo-]

Il primo punto si trova con il risultato del libro

Per il secondo punto invece il libro mi porta

[math]y = (0,282) cos (48*1/m*π*x + π)[/math]

[mc2]

Le due espressioni sono in accordo:
io ho dato il risultato in funzione del tempo, invece il risultato del libro e` una "fotografia" dell'onda a t=0. Metti t=0 nella mia formula precedente e trovi un risultato identico a quello del libro.

Infatti :

[math]48*\pi=150~\mbox{rad/m}[/math]

il fattore 1/m significa solo che x va misurato in metri (io l'ho sottinteso scrivendo l'unita` di k in rad/m)

[math]cos(150x+\pi)=-cos(150x)[/math]

Infine 0.282 m=28.2 cm

[Cristoforo-]

Non ho capito come sei arrivata a questa equazione:

[math]y(x,t)=-28,2~\cos(150~x-314~t)[/math]

sul mio libro mi porta l'equazione sulle onde armoniche in due modi diversi:

Legge delle onde armoniche in un punto fissato

[math]y=acos((2π/T)*t+{\phi})=acos(wt+{\phi})[/math]

Legge delle onde armoniche in un istante fissato

[math] y=acos(\frac{2π}{\lambda}+{\phi}) [/math]

[mc2]

La legge delle armoniche in un istante fissato e`

[math]y=A~cos(\frac{2\pi}{\lambda} x +phi)[/math]

(hai dimenticato di scrivere la

[math]x[/math]

)

Quella che ho scritto io vale per t e x non fissati, quindi e` piu` generale.

Anzi e` LA forma generale di un'onda armonica, risultato dell'equazione delle onde di d'Alembert. Se non ve l'hanno spiegata, allora puoi lasciare perdere e usare le due espressioni che hai scritto tu, a t fissato o a x fissato (che si ottengono entrambe dalla forma generale, scegliendo valori particolari -e fissati- di t o x rispettivamente).

Nel caso del tuo esercizio: A=0,282 m=28,2 cm

[math]\frac{2\pi}{\lambda}=\frac{2\pi}{0.042~m}=48\pi~m^{-1}=150 ~rad/m[/math]

Inoltre, sempre in quest'esercizio, la fase

[math]\phi[/math]

risulta uguale a

[math]\pi[/math]

per cui puoi usare l' identita` trigonometrica:

[math]y=Acos(150\,x+\pi)=-Acos(150\,x)[/math]