Problema sulla massa di un satellite

[guerrini2008]

Un satellite compie un giro completo attorno alla terra in 90 minuti all'altezza di 7000 km dalla superficie terrestre. Sapendo che esso e soggetto ad una forza centripeta di 7,45 x 10alla sesta Newton. Determinare la massa
Per il raggio terrestre assumere 6,378 x 10alla sesta metri

[anna.supermath]

Ciao, ti scrivo la soluzione.
Dati

[math]
T = 90 min = 90 \cdot 60 s = 5400 s
[/math]

[math]
H = 7000 Km = 7 \cdot 10^3 Km = 7 \cdot 10^6 m
[/math]

[math]
F_C = 7,45 \cdot 10^6 N
[/math]

[math]
R_T = 6,378 \cdot 10^6 m
[/math]

m = ?
dove m è la massa del satellite.
Svolgimento
La forza centripeta

[math]
F_C
[/math]

cui è soggetto il satellite ha la seguente espressione:

[math]
F_C = \frac{m v^2}{R}
[/math]

[math]
R = H + R_T
[/math]

ossia

[math]
R = 7 \cdot 10^6 m + 6,378 \cdot 10^6 m
[/math]

[math]
R = 13,378 \cdot 10^6 m
[/math]

L’orbita che percorre il satellite è la circonferenza di raggio R, per cui è:

[math]
C = 2 \pi R
[/math]

[math]
C = 2 \pi 13,378 \cdot 10^6 m
[/math]

[math]
C = 84,01 \cdot 10^6 m
[/math]

Quindi possiamo calcolare la velocità tangenziale del satellite

[math]
v = \frac{C}{T}
[/math]

[math]
v = \frac{84,01 \cdot 10^6}{5400} m s^{-1}
[/math]

[math]
v = 0,0155 \cdot 10^6 m s^{-1}.
[/math]

A questo punto dalla formula della forza centripeta si può ricavare la massa:

[math]
F_C = \frac{m v^2}{R}
[/math]

[math]
m = \frac{F_C R}{v^2}
[/math]

[math]
m = \frac{(7,45 \cdot 10^6)(13,378 \cdot 10^6) }{(0,0155 \cdot 10^6)^2} Kg
[/math]

[math]
m = 4,148 \cdot 10^5 Kg
[/math]

Se hai dubbi, chiedi pure.