Problema sulla Fluidodinamica

[MrRob_]

Un tubo cilindrico e' appoggiato
su un piano orizzontale. Il tubo ha un raggio R = 1,0 m e si raccorda con un
tubo coassiale di raggio r = 1,0 cm. Nei due tubi scorre acqua, che
fuoriesce dopo un certo tratto dal secondo tubo. La gittata dell'acqua che
esce dal tubo e' x = 2,0 m. Considera l'acqua come fluido ideale.
Calcola la pressione dell'acqua nel tratto di tubo di raggio R.

Vorrei sfruttare l'equazione di Bernoulli per procedere alla risoluzione, ma dopo aver individuato le velocita' dell'acqua(sfruttando la gittata) in entrambi i tubi, non riesco a individuare le pressioni. In allegato l'immagine, grazie in anticipo per il supporto

[mappazzzone]

Siano S₁ una sezione di raggio R ed S₂ la sezione di fuoriuscita di raggio r. Dato che S₂ è molto esigua, il moto dell'acqua in aria lo si può considerare parabolico, ossia in direzione orizzontale come rettilineo uniforme e in direzione verticale come rettilineo uniformemente accelerato.

Per tal motivo, invertendo la relazione x = v₂·t otteniamo il tempo che l'acqua impiega a toccare terra: t = x/v₂ e sostituendo tale tempo nella relazione 0 = R - 1/2·g·t² possiamo determinare la velocità dell'acqua in S₂: v₂ = x·√(g/(2·R)).

Ciò fatto, imponendo la conservazione della massa tra S₁ ed S₂: rho·A₁·v₁ = rho·A₂·v₂ risulta possibile determinare anche la velocità dell'acqua in S₁: v₁ = A₂·v₂/A₁ = (r/R)²·v₂ = (r/R)²·x·√(g/(2·R)).

Infine, imponendo la conservazione dell'energia tra S₁ ed S₂: p₁ + rho·g·h₁ + 1/2·rho·v₁² = p₂ + rho·g·h₂ + 1/2·rho·v₂² risulta possibile determinare anche la pressione dell'acqua in S₁:

p₁ = p₂ + rho·g·(h₂ - h₁) + 1/2·rho·(v₂² - v₁²)
... = p₂ + 1/2·rho·(v₂² - v₁²)
... = p₂ + 1/2·rho·(1 - (r/R)⁴)·x²·g/(2·R)

dove sostituendo i valori numerici:

p₂ = 101325 Pa;
rho = 1000 kg/m³;
r = 1/100 m;
R = 1 m:
x = 2 m;
g = 9.81 m/s²;

si ottiene quanto richiesto:

p₁ = 111135 Pa.

Ciao!