Problema sui fluidi, urgente per favore.

[docmpg]

un cilidro di massa 100g e volume 60,5cm^3 galleggia in un liquido. La sua altezza totale è 9,75cm e la parte immersa ha un'altezza di 6,15cm. Qual è la densità del cilindro?Qual è la densità del liquido?
Ho visto soluzione qui
https://forum.skuola.net/fisica/una-mano-con-l-equilibrio-dei-fluidi-87279.html
ma non capisco perchè la formula del gallaeggiamento è V/Vo=Do/D, li' vengono messe le altezze e poi V è il volume del liquido spostao e viene messa l'altezza perchè? E poi dall'esercizio sembra che l'altezza non sia del liquido ma del cilindro. INsomma vorrei capire bene grazie.

[Matlurker]

Quando Archimede intuì il concetto di densità o, per meglio dire, massa per unità di volume, fece fare all'umanità un passo in avanti pari, a mio parare, a quelle fatte da Newton.
Se un cilindro di volume V è parzialmente immerso ed è in equilibrio statico, in esso agiscono due forze:

- la prima è la forza di gravità. Questa sarà uguale alla massa di tutto il cilindro per l'accelerazione di gravità. La direzione è la verticale e verso il basso:

[math]F_g=m_{cil} \cdot g[/math]

- la seconda, detta spinta di Archimede, pari alla massa di liquido spostata dal cilindro, direzione verticale e verso l'alto:

[math]F_A=m_{liq} \cdot g[/math]

La massa della spinta di Archimede è della parte del cilindro immersa. Infatti, prima che ci fosse il cilindro, lì c'era del liquido. I liquidi sono incomprimibili, quindi hanno una reazione all'immersione del cilindro e vi si oppongono con la stessa forza ricevuta, che è quella di gravità.

Dunque, una volta raggiunto l'equilibrio, le due forze si eguagliano:

[math]F_g=F_A \Longleftrightarrow m_{cil} \cdot g= m_{liq} \cdot g[/math]

Semplificando:

[math]m_{cil}= m_{liq}[/math]

Qui abbiamo già la massa del cilindro. Non ci resterebbe che calcolare quella del liquido. Se non fosse, appunto, che essendo liquido, queste molecole si sono semplicemente spostate. Immaginiamo dunque di avere come dato la massa volumica, la densità. Chiamiamola

[math]D_{liq}[/math]

. Se una unità di volume di quel liquido pesa

[math]D_{liq}[/math]

, quanto peserà quella contenuto in un volume pari alla parte del cilindro spostato

[math]V_{liq}[/math]

? Ricapitolando:

[math]m_{cil}=D_{liq} \cdot V{liq}[/math]

con

[math]V_{liq}=Area_{base} \cdot h_{liq}[/math]

Ma l'area base è pari a:

[math]Area_{base}= \frac{V_{cil}}{h_{cil}}[/math]

Dunque:

[math]V_{liq}=V_{cil} \cdot \frac{h_{liq}}{h_{cil}}[/math]

e pertanto:

[math]m_{cil}=D_{liq} \cdot V_{cil} \cdot \frac{h_{liq}}{h_{cil}}[/math]

A guardar bene, in effetti, non si ha proprio bisogno di calcolare l'Area di base. Infatti, la base del cilindro è sempre quella e si semplifica nell'equazione. Ciò che serve effettivamente è il rapporto tra le due altezze: quella del cilindro totale e quella del cilindro immerso. Specificatamente per la parte immersa, mi serve l'altezza della parte del cilindro immersa perché è pari all'altezza del volume del liquido che si è spostato per far spazio al cilindro.

Poniamo adesso che, invece del cilindro abbiamo un'altra sostanza generica, tale che abbiamo, invece di avere come dato la massa, una analoga massa volumica

[math]D_{cil}[/math]

della materia che forma tutto il cilindro. Al posto della

[math]m_{cil}[/math]

avremmo:

[math]D_{cil} \cdot V_{cil}=D_{liq} \cdot V_{cil} \cdot \frac{h_{liq}}{h_{cil}}[/math]

Semplificando e raggruppando:

[math]\frac{D{cil}}{D_{liq}}=\frac{h_{liq}}{h_{cil}}=\frac{V_{liq}}{V_{{cil}}}[/math]

dove:
- D_{cil} è la densità del cilindro;
- D_{liq} è la densità del liquido;
-

[math]h_{liq}[/math]

è l'altezza del cilindro immerso (pari a quella del liquido spostato;
-

[math]h_{cil}[/math]

è l'altezza di tutto il cilindro.
-

[math]V_{liq}[/math]

è il volume del cilindro immerso (pari a quella del liquido spostato;
-

[math]V_{cil}[/math]

è il volume del cilindro.