Problema sugli urti

[mark111]

Ciao ragazzi qualcuno può aiutarmi con la risoluzione di questo problema?
-Una molla ideale di costante elastica k=300 N/m è posta all'interno di un recipiente verticale. Sulla molla è appoggiato un disco di massa M=500g. Inizialmente il sistema è in equilibrio statico; su di esso urta in modo perfettamente elastico una pallina di massa m=100g. Immediatamente prima dell'urto la velocità della pallina forma un angolo di 60° rispetto alla normale e ha modulo v=20 m/s. Si determinino: a) la compressione iniziale della molla; b) la compressione massima della molla; c) l'altezza massima raggiunta dalla pallina dopo l'urto.

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1) Imponendo l'equilibrio alla traslazione verticale, si ha

[math]F_{el} - P = 0[/math]

da cui

[math]F_{el} = P = M\,g[/math]

. Sempre in
condizioni statiche, sappiamo che

[math]F_{el} = k\,\Delta_1 L[/math]

da cui

[math]\Delta_1 L = \frac{F_{el}}{k}[/math]

. Amalgamando il tutto, si ottiene

[math]\Delta_1 L = \frac{M\,g}{k}\\[/math]

.


2) Un istante prima dell'impatto la pallina possiede esclusivamente energia
cinetica pari a

[math]E_k = \frac{1}{2}m\,v^2[/math]

. Dal momento che

[math]v = \sqrt{v_n^2 + v_t^2}[/math]

,
solamente il contributo normale alla molla è responsabile della trasformazione
dell'energia cinetica in energia potenziale elastica (la rimanente si trasformerà
verosimilmente in calore). In altri termini, si ha:

[math]E_{p,e} = \frac{1}{2}m\,v_n^2[/math]

, con

[math]v_n = v\,\cos\theta[/math]

. Dal momento che sappiamo valere la relazione

[math]E_{p,e} = \frac{1}{2}k\,(\Delta_2 L)^2[/math]

segue che

[math]\Delta_2 L = \sqrt{\frac{2\,E_{p,e}}{k}} = \sqrt{\frac{m}{k}}v\,\cos\theta[/math]

.
In definitiva:

[math]\Delta_{max} L = \Delta_1 L + \Delta_2 L\\[/math]

.


3) Essendo l'urto perfettamente elastico la pallina rimbalzerà con velocità
iniziale

[math]v_0 = v[/math]

(con le medesime componenti normali e tangenziali di
prima). Dunque, banalmente, si ha

[math]0 = v_n - g\,t^*[/math]

da cui

[math]t^* = \frac{v_n}{g}[/math]

e
quindi quanto desiderato:

[math]h_{max} = v_n\,t^* - \frac{1}{2}g\,{t^*}^2\\[/math]

.


Spero sia sufficientemente chiaro. ;)

[mark111]

Grazie mille! Mi è tutto chiaro solo una cosa: come mai la velocità prima e dopo l'urto coincidono?

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Dal momento che l'urto è perfettamente elastico, per definizione deve conservarsi l'energia meccanica totale della pallina. Inoltre, per via del fatto che i potenziali delle forze esterne sono trascurabili, tale conservazione ricade esclusivamente sull'energia cinetica. Dunque, dato che in un urto siffatto (che beninteso è ideale) l'energia cinetica della pallina prima e dopo l'urto è la medesima, nella ragionevole ipotesi che la massa non vari, la velocità deve essere necessariamente la stessa. :)